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Journal of Cybersecurity >

2026 , Vol. 4 >Issue 3: 64 - 79

DOI: https://doi.org/10.20172/j.issn.2097-3136.260606

Academic Research

Resource-efficient and latency-optimized hardware accelerator for Koblitz-curve point multiplication

  • Zhang Jinlei 1, 2, 3 ,
  • Sun Weitian 4 ,
  • Jiang Yujie 1 ,
  • Wang An 1 ,
  • Zhang Jingqi 1 ,
  • Yang Xianming 5 ,
  • Hao Yue , 6, 7, *
Expand
  • 1. School of Cyberspace Science and Technology, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China
  • 2. CRRC Nanjing Puzhen Co., Ltd., Nanjing 210031, China
  • 3. CRRC Science and Technology Innovation (Beijing) Co., Ltd., Beijing 100036, China
  • 4. School of Electronic Science and Engineering, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049, China
  • 5. FeiTeng Information Technology Co., Ltd., Tianjin 300450, China
  • 6. School of Integrated Circuits, Peking University, Beijing 100871, China
  • 7. Beijing Microelectronics Technology Institute, Beijing 100076, China

Online published: 2026-07-09

Copyright

Copyright ©2026 Journal of Aeronautical Materials. All rights reserved.
Fold

Abstract

This paper investigates hardware acceleration architectures for point multiplication to address the computational efficiency issues of Koblitz curves in elliptic curve cryptography (ECC) systems. An optimized τNAF scalar conversion algorithm and its corresponding hardware structure are first proposed to reduce latency in the pre-computation phase. On this basis, two computation architectures with optimized pipeline efficiency are designed. The area-efficient architecture employs a compact four-stage pipeline with a single multiplier to improve hardware resource utilization. For different binary fields (GF(2163), GF(2283), and GF(2571)), the low-latency architecture adopts two-stage and three-stage pipeline designs respectively, and leverages dual parallel multipliers to reduce the clock cycles required for point addition. Experimental results on the Virtex-7 FPGA platform demonstrate that both architectures achieve substantial latency improvements across all three fields. Compared with state-of-the-art designs, the area-efficient architecture reduces latency by 58.111% over GF(2571), while the low-latency architecture reduces latency by 43.952% over GF(2163). The results demonstrate that optimizing pipeline scheduling and algorithm mapping can effectively balance the computational performance and resource consumption of ECC coprocessors, providing a practical reference for the design of high-performance cryptographic hardware.

Key words： elliptic curve cryptography; FPGA; Koblitz curves; point multiplication; hardware architecture; pipeline scheduling

Cite this article

Zhang Jinlei , Sun Weitian , Jiang Yujie , Wang An , Zhang Jingqi , Yang Xianming , Hao Yue . Resource-efficient and latency-optimized hardware accelerator for Koblitz-curve point multiplication[J]. Journal of Cybersecurity, 2026 , 4(3) : 64 -79 . DOI: 10.20172/j.issn.2097-3136.260606

0 引言

信息安全在数字化时代的重要性日益凸显，各类加密算法在数据保护中发挥着核心作用。随着物联网（internet of things，IoT）的快速普及，在保障设备安全性能的同时实现硬件轻量化，已成为学术界与工业界的研究焦点[1]。面向物联网的认证密钥协商协议研究表明，椭圆曲线密码（elliptic curve cryptography，ECC）已被广泛用作构建安全通信信道的核心密码学原语[2]，这进一步凸显了在资源受限设备上实现高效ECC运算的工程价值。
椭圆曲线密码自1985年被Koblitz[3]和Miller[4]提出以来，凭借其能以更短的密钥提供同等安全强度的优势，在执行效率与资源消耗方面表现出显著优于其他加密算法的特性。尽管量子计算的兴起给传统加密算法带来了挑战，但由于后量子密码（post-quantum cryptography，PQC）算法目前存在公钥尺寸较大、运算效率较低等问题，ECC在实际应用中仍是不可或缺的主流密码方案。此外，已有研究将PQC与ECC结合用于安全凭证管理系统[5]，进一步证明了ECC的研究意义与实践价值。在ECC运算体系中，点乘作为最核心的底层操作，其执行效率直接决定了整个加密系统的综合性能。
Koblitz曲线[6]是一类特殊的二进制域椭圆曲线，其核心特性为可利用Frobenius映射替代复杂的倍点运算，大幅简化点乘的计算流程。将Koblitz曲线的代数优势与二进制域算术运算的简洁性相结合，对于资源受限的轻量级物联网设备具有极高的工程应用价值。Frobenius映射的计算开销极小，仅涉及二进制域内的平方运算。然而，如何高效地进行标量转换并优化硬件调度，仍是提升点乘性能的关键挑战。
针对上述挑战，通过对Koblitz曲线点乘运算的算法流程与硬件架构进行深度分析，提出并实现了一套高性能的点乘解决方案。本文主要工作及贡献如下。
1）算法优化层面：针对标量转换过程，提出了改进的混合输出双字标量约减算法与混合输入τNAF（τ non-adjacent form）双字生成算法。该算法通过优化运算逻辑，消除了冗余加法操作，同时在硬件层面设计了适配的高效标量转换器架构。
2）架构设计层面：针对点加运算过程，通过精细化的数据依赖分析，设计了两种典型硬件架构：面积高效架构采用四级流水线与单乘法器的紧凑设计，实现了100%的硬件资源利用率；低时延架构则利用双并行乘法器及多级流水线技术，最大限度缩短了运算时钟周期。
3）实验对比层面：在Virtex-7 FPGA平台上完成了不同二进制域宽度的电路实现。实验结果表明，所提方案在计算时延与面积时间积（area-time product，ATP）等核心性能指标上均显著优于现有先进设计，展现出极高的工程实用价值。

1 相关工作

国内外学者针对Koblitz曲线点乘运算优化开展了广泛研究[7-14]。在并行计算方面，Järvinen等[7]与Azarderakhsh等[8]通过点运算交替执行或修改计算公式，利用多个并行乘法器打破数据依赖、减少计算轮数，但引入了较大的硬件面积开销。在标量编码与预计算方面，Roy等[9]与Wang等[10]通过扫描多位标量序列或预计算编码组合提升并行度；Järvinen等[11]与Vuillaume等[12]则引入窗口技术或动态生成辅助点以减少运算周期，但上述方案均需占用额外硬件资源，用于预计算数据的存储与调度管理。在流水线调度方面，Li等[13]利用单乘法器流水线将1-bit序列的计算压缩至9个周期；Zode等[14]探讨了基于约束的调度方法，但该研究未引入流水线优化设计，整体运算时钟周期数偏高。
此外，由于点乘架构的底层运算逻辑具有通用性，通用曲线的优化方案[15-21]也具有重要的参考意义。在乘法器优化方面，Alharbi等[15]采用数字并行乘法器将大位宽乘法分解为多个并行小位宽乘法，以缩短关键路径；Rashid等[16]采用位并行Karatsuba-Ofman乘法器（Karatsuba-Ofman multiplier，KOM）有效缩减乘法运算时钟周期；Heidarpur等[17]提出无重叠乘法（overlap-free Karatsuba multiplier，OFKM）策略，通过按操作数奇偶性分割数据消除递归重叠问题，进一步缩短关键路径；Thirumoorthi等[18]与Zeghid等[19]则分别在OFKM多段划分策略及其与交错乘法技术的融合上做出了改进。然而，受限于乘法器自身的硬件实现复杂度，仅依靠底层运算单元优化对点乘整体性能的提升效果较为有限。Kumar等[20]与Nadikuda等[21]则从数据调度角度出发，通过优化乘法、加法等运算单元的调度方案来提升并行度，降低计算时延。
综上所述，现有研究大多仅侧重于单一维度的性能优化，在降低计算时延的同时，通常会引入较高的硬件面积开销。现有研究针对不同乘法器配置规模与流水线级数，缺乏系统性的数据依赖分析与最优调度方案探索。因此，构建一种能充分利用流水线资源、兼顾面积效率与计算性能的点乘架构具有重要的研究价值。

2 预备知识

2.1 二进制域椭圆曲线算术

椭圆曲线密码系统的运算架构通常分为4个层级：最顶层为加密协议层，其次为点乘算法层，再次为点加与倍点运算层，最底层为有限域基本运算层。其中，点乘运算是实现各类密码协议的核心，其执行效率主要取决于点加与倍点运算的性能，而这些运算最终由底层的模加、模减、模乘及模逆等有限域操作完成。
本文重点研究二进制域GF($2^m $)上的椭圆曲线标量乘法实现。在有限域元素的常用表示形式中，多项式基因可有效降低模乘运算的硬件实现复杂度，被广泛应用于ECC硬件设计。在多项式基表示下，各底层运算的特性如下。
1）模加与模减：在二进制域中，模加与模减运算是等价的，均可通过对两个元素的二进制系数进行按位异或操作高效实现。
2）模乘与模平方：模乘运算分为多项式乘法与模约减两个阶段。首先计算两个m位多项式的乘积，得到2m−1位的中间多项式结果，再基于约减多项式f(x)完成模约减运算。当两个运算操作数完全一致时，多项式乘法可简化为模平方运算；在多项式基表示下，模平方运算仅需在原始系数间补零即可实现，计算开销远低于常规模乘运算。
3）模逆：这是有限域中复杂度最高、耗时最长的操作。在本文设计中，模逆运算基于费马小定理并结合改进型塔形算法（improved tower algorithm，ITA）实现。
在坐标系选择方面，仿射坐标下的每一次点加、倍点运算均包含模逆操作，会产生较大的计算时延。为了规避这一瓶颈，通常采用投影坐标进行点乘计算。在投影坐标系下，整个点乘迭代过程仅需执行模乘与模平方运算，仅在运算结束、将结果还原为仿射坐标时执行一次模逆运算，可显著提升系统整体运算性能。

2.2 Koblitz曲线与Frobenius映射

Koblitz曲线的曲线方程可定义为：
$ {E}_{a}\colon {y}^{2}+xy={x}^{3}+a{x}^{2}+1,a\in \left\{0,1\right\}. $
该曲线最显著的代数特性在于其Frobenius映射性质：若点$ P\left(x,y\right) $位于曲线$ {E}_{a}\left({\mathrm{GF}}\left({2}^{m}\right)\right) $上，则点$ \left({x}^{2},{y}^{2}\right) $同样位于该曲线上。基于该性质，Frobenius映射$ \tau $可定义$ \text{为}\left(x,y\right)=\left({x}^{2},{y}^{2}\right) $，该映射在二进制域下仅需完成两次模平方运算，硬件实现的时间与资源开销极低。
在Koblitz曲线计算体系中，Frobenius映射可等效为点P与复数算子$ \tau $的乘法运算，其中，$ \tau $满足特征方程$ {\tau }^{2}+2=\mu \tau $，且$ \mu ={\left(-1\right)}^{1-a} $。这一特性使得点乘运算$ Q=kp $中的整数标量$ k $可转换为以$ \tau $为基的表达式$ \displaystyle\sum\nolimits_{i=0}^{l-1}{k}_{i}{\tau }^{i} $（$ k\in \left\{0{,}1\right\} $），进而将传统点乘运算重构为$ \displaystyle\sum\nolimits_{i=0}^{l-1}{k}_{i}{\tau }^{i}\left(P\right) $的计算形式。通过该转换，点乘运算中复杂度较高的倍点操作被轻量化的Frobenius映射替代，整体计算复杂度转变为对多组Frobenius映射生成点的点加累加运算。由于Frobenius映射相比倍点运算在逻辑实现上更为简单，这种替代方案显著降低了点乘运算的整体复杂度，为高性能硬件架构的设计奠定了基础。

3 改进的标量算法运算与硬件架构实现

3.1 标量转换理论

在Koblitz曲线点乘运算中，为利用低开销的Frobenius映射代替高复杂度的倍点运算，需先将整数标量k转换成以$ \tau $为基的表达式。点乘运算包含l次Frobenius映射操作与若干次点加操作，其中点加运算的硬件复杂度远高于Frobenius映射操作。因此，优化标量转换的目标是得到长度更短且非零元素更少的序列。
Solinas等[22]提出了τNAF方法，这种方法使用带符号的数字使序列变得稀疏，从而减少了运算中的非零项。然而，直接对标量连续除以$ \tau $生成的序列长度约为二进制序列的两倍，无法实质性降低整体计算量。
为缩短序列长度，需利用Koblitz曲线在$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{m}\right) $有限域上的特殊代数性质。Meier和Staffelbach[23]的研究表明，曲线上的点P满足如下公式：
$ \begin{aligned}&P=(x,y)=({x}^{{{2}^{m}}},{y}^{{{2}^{m}}})={\tau }^{m}P\\&({\tau }^{m}-1)P=\mathcal{O}\end{aligned} $
基于此性质，如果标量$ \gamma $满足：
$ \gamma =\kappa    \,\left(\mathrm{mod}{\tau }^{m}-1\right) $
那么使用$ \gamma $代替$ \kappa $进行点乘的结果是完全相同的：
$ \kappa P=\lambda ({\tau }^{m}-1)P+\gamma P=\mathcal{O}+\gamma P=\gamma P $
经约减后的标量$ \gamma $生成的τNAF序列长度缩短至$ m $左右，且非零元素比例保持在1/3，这有效降低了点乘的复杂度。
目前最有效的约减方法是Brumley和Jarvinen提出的时延约减法[24]。该方法通过对$ \kappa $连续除以$ \tau $共$ m $次，最后通过一次加法得到约减结果$ \gamma $，计算过程如下：
$ \begin{aligned}\kappa &=\lambda {\tau }^{m}+(\gamma -\lambda )\\\gamma &=\lambda +(\gamma -\lambda )\end{aligned} $
在实际应用中，为了进一步提升转换速度，常采用Adikari[25]提出的双字时延约减算法。该算法的核心是在每次迭代中直接除以${\tau }^2 $，从而将原本需要的$m $次除法运算缩减至约m2次。这种改进使标量转换的时钟周期缩减了一半，显著降低了计算时延。本文后续提出的硬件架构正是基于这一双字处理逻辑进行的优化。
尽管双字处理框架已有相关研究先例，但现有实现方案均需在标量约减阶段末尾执行一次显式累加操作，将规范商与余数合并为统一数据格式后，再输入至τNAF生成模块。这一操作看似简单，却在硬件层面引入了额外的加法器资源，并形成了跨模块的数据依赖，限制了关键路径的进一步压缩。本文的核心改进为重新设计两个运算阶段的数据交互接口：标量约减阶段以“规范商+二进制余数序列”的混合形式直接输出数据，τNAF生成阶段同步适配输入逻辑以接收该混合数据格式，在保障计算结果准确的前提下，彻底消除两阶段间的显式累加操作。这一改进与Adikari等[25]工作的本质区别在于：后者优化的是迭代次数，而本文优化的是阶段间的数据表示与接口设计，二者在优化维度上可以叠加使用。

3.2 标量转换的硬件架构与实现

本节详细介绍标量转换器的硬件实现方案。为降低硬件开销，本文对双字时延约减算法与τNAF生成算法进行优化，核心改进思路为重构算法数据表示形式，通过引入混合输出与混合输入机制，去除原有算法必需的累加运算步骤，有效精简电路计算单元，降低硬件面积开销并提升整体运算性能。
在标量约减阶段，算法首先执行一次除以$ \tau $的运算。此时，商$ {d}_{0} $和$ {d}_{1} $可按照$ \left(\mu {d}_{0}/2,-{d}_{0}/2\right) $直接更新，无需引入额外的加法操作。除法过程中产生的余数不以规范形式表示，而是直接以二进制序列的形式记录，无需进行累加。在后续每次迭代中，依次执行除以$ {\tau }^{2} $的运算，每轮迭代完成后，将对应的余数位$ {\varepsilon }_{0} $和$ {\varepsilon }_{1} $移入移位寄存器$ w $缓存存储。算法最终输出的结果由规范形式的商$ \left({d}_{0},{d}_{1}\right) $与二进制序列形式的余数$ w $共同组成，两者无需相加合并，可直接作为后续τNAF生成阶段的输入数据。
在序列生成阶段，以约减阶段输出的规范形式商$ \kappa ={d}_{0}+{d}_{1}\tau $与二进制余数序列$ \omega $作为联合输入，每次迭代同时处理两位数据，在每轮循环中依据当前的$ \left({c}_{0},{c}_{1}\right) $与余数序列$ w $的低位联合计算输出符号位$ \left({u}_{0},{u}_{1}\right) $，并相应更新$ \left({c}_{0},{c}_{1}\right) $与$ w $，逐步生成τNAF序列。由于在约减阶段已采用混合表示省去了额外的加法运算，序列生成过程中同样减少了所需的加法操作数量，从而有效缩短了关键路径并降低了面积开销。
基于上述改进算法，本文设计了对应的标量转换器硬件电路，整体架构如图1所示。
图 1 标量转换器的硬件架构

Fig.1 Hardware architecture of the scalar converter

该电路的核心组成包括4个加减法器、3个寄存器、若干多路选择器以及一个控制单元。控制单元产生一个2位控制信号$ s $，用于切换电路工作阶段，共包含4种工作状态：当$ s=0 $时，电路处于初始化状态；当$ s=1 $时，电路执行除以$ \tau $的懒惰约减运算；当$ s=2 $时，电路执行除以$ {\tau }^{2} $的懒惰约减运算；当$ s=3 $时，电路进入τNAF生成状态。在以下描述中，$ + $表示逻辑或，$ \cdot $表示逻辑与，$ \oplus $表示异或，$ {a}_{i,j} $表示$ {a}_{i} $的第$ j $位，以此类推。
在时延约减状态下，余数$ {\varepsilon }_{0} $和$ {\varepsilon }_{1} $的计算公式如下：
$ {\varepsilon }_{0}={d}_{0,0},{\varepsilon }_{1}={d}_{0,1}\oplus {d}_{1,0} $
商$ {d}_{0} $和$ {d}_{1} $的更新遵循除以$ \tau $（公式7）和除以$ {\tau }^{2} $（公式8）的逻辑。计算公式如下：
$ \left({d}_{0},{d}_{1}\right)\leftarrow \left({d}_{1}+\mu \left[{d}_{0}/2\right],-\left[{d}_{0}/2\right]\right) $
$ \left({d}_{0},{d}_{1}\right)\leftarrow \left(\left(-{d}_{0}+2\mu {d}_{1}\right)/4,\;-\left(\mu {d}_{0}+2{d}_{1}\right)/4\right) $
在如图1所示的架构中，电路左侧部分负责懒惰约减状态下$ {d}_{0} $和$ {d}_{1} $的迭代计算，右下方电路将每轮迭代产生的$ {\varepsilon }_{0} $和$ {\varepsilon }_{1} $依次写入移位寄存器$ w $中存储。
在τNAF生成状态下，控制逻辑单元综合利用$ {c}_{0} $、$ {c}_{1} $和$ w $计算当前的输出符号$ \left({u}_{0},{u}_{1}\right) $，具体逻辑表达式如下：
$ \begin{aligned}{u}_{0,0}&={c}_{0,0}\oplus {w}_{0}\\{u}_{0,1}&=\left({c}_{0,0}\oplus {w}_{0}\right)\cdot \left({c}_{0,1}\oplus {c}_{1,0}\oplus {w}_{1}\right)\\f&=\begin{cases} {w}_{0}\cdot ({c}_{0,1}+\overline{{c}_{1,0}})+{c}_{0,1}\cdot \overline{{c}_{1,0}}, & \mu =1\\{w}_{0}\cdot ({c}_{0,1}+{c}_{1,0})+{c}_{0,1}\cdot {c}_{1,0}, & \mu =-1\end{cases} \\{u}_{1,0}&=\overline{{c}_{0,0}\oplus {w}_{0}}\cdot ({c}_{0,1}\oplus {c}_{1,0}\oplus {w}_{1}\oplus {w}_{0})\\{u}_{1,1}&={u}_{1,0}\cdot ({c}_{0,2}\oplus {c}_{1,1}\oplus {w}_{2}\oplus f)\end{aligned} $
此时$ {c}_{0} $和$ {c}_{1} $的迭代更新公式为：
$ \begin{aligned}& {c}_{0}\leftarrow {c}_{0}+{w}_{0}-{u}_{0},   \,{c}_{1}\leftarrow {c}_{1}+{w}_{1}-{u}_{1}\\& ({c}_{0},{c}_{1})\leftarrow \left(\frac{-{c}_{0}+2\mu {c}_{1}}{4},\frac{-(\mu {c}_{0}+2{c}_{1})}{4}\right)\end{aligned} $
寄存器$ w $每个时钟周期右移两位，为下一轮$ {u}_{0} $和$ {u}_{1} $的计算提供更新后的低位输入。从电路复用的角度来看，τNAF生成状态与懒惰约减状态共用图1左侧的$ {c}_{0} $、$ {c}_{1} $迭代电路，二者的区别仅在于顶部两个多路选择器的选通信号不同：懒惰约减状态下选通信号为$ \varepsilon $，对应执行$ c-\varepsilon$运算；τNAF生成状态下选通信号切换为$ u $，对应执行$ c-u $运算。这一设计实现了电路资源的有效复用，降低了整体面积开销。
在GF($ {2}^{m} $)域上，上述标量转换架构的总转换时延约为$m+4 $个时钟周期，具体构成如下：1个初始化周期、1个除以$ \tau $的约减周期、$ (m-1)/2 $个除以$ {\tau }^{2} $的约减周期，以及$ (m+4)/2 $个τNAF生成周期。表1给出了Virtex-7标量转换架构在XC7VX690TFFG1157-3芯片上的实现结果。
表 1 基于 Virtex-7 的标量转换实现结果

Table 1 Implementation result of scalar converter on Virtex-7

m 频率/MHz CC 时延/μs #LUT #FF #Slice ATP
163 213 84 0.394 1096 503 299 118
283 162 144 0.889 1823 863 506 450
571 138 288 2.087 3550 1738 986 2058

4 点乘硬件架构设计与优化

本节围绕Koblitz曲线点乘硬件架构的设计与优化展开：首先分析点乘运算流程及其数据依赖关系，随后针对单乘法器与双乘法器两种配置，系统探讨不同流水线级数下的最优调度方案，并在此基础上提出面积高效架构与低时延架构两种实现方案，最后给出整体硬件架构设计。

4.1 Koblitz曲线点乘运算流程分析

Koblitz曲线点乘核心是将标量转换为τNAF形式后，以Frobenius映射替代传统椭圆曲线的倍点运算，仅保留点加运算作为主要计算开销，整体流程采用从最低有效位到最高有效位的扫描方式，大幅降低运算复杂度。
完成标量转换得到τNAF序列后，点乘运算由Frobenius映射与点加两类操作构成。其中，Frobenius映射仅需完成二元域上的两次平方运算，计算开销极低；点加则是决定点乘整体时延的关键操作。为规避仿射坐标下点加需频繁执行模逆的问题，本文采用混合坐标实现点乘：点加运算在射影坐标下完成，Frobenius映射仍在仿射坐标下执行，兼顾运算效率与实现简便性。
本文采用的混合坐标点加公式包含8次乘法、9次加法、5次平方，依据乘法操作可划分为8个子计算步骤，并按结果输出分为三组：第一组完成$ {Z}_{3} $的计算，第二组完成$ {X}_{3} $的计算，第三组完成$ {Y}_{3} $的计算，各组间存在明确的数据依赖关系，对应的混合坐标点加运算表达式为
$ \begin{aligned} & {\mathcal{Z}}_{0}\colon E={x}_{2}{Z}_{1}\\ & {\mathcal{Z}}_{1}\colon \begin{cases} C={Z}_{1}(E+{X}_{1})\\F=aC+{\left(E+{X}_{1}\right)}^{2}\end{cases} \\ & {\mathcal{X}}_{0}\colon G={y}_{2}Z_{1}^{2}\\ & {\mathcal{X}}_{1}\colon {X}_{3}=C(F+G+{Y}_{1})+{\left(G+{Y}_{1}\right)}^{2}\\ & {\mathcal{Y}}_{0}\colon H=C(G+{Y}_{1})+{Z}_{3}\\ & {\mathcal{Y}}_{1}\colon D={x}_{2}{Z}_{3}\\ & {\mathcal{Y}}_{3}\colon {Y}_{3}=H(D+{X}_{3})+J\end{aligned} $
Koblitz曲线点乘运算先将输入标量完成规约与τNAF生成，随后从低位到高位逐位扫描τNAF序列，当位非零时执行点加操作，每轮迭代均对当前点执行Frobenius映射，最终通过一次模逆将射影坐标结果转换回仿射坐标输出。
采用从右至左的计算方式，标量转换中的规约完成后即可逐位输出τNAF序列，点乘可与τNAF生成并行执行，大幅压缩整体时延。同时，Frobenius映射与点加可并发处理：当τNAF位为0时，仅执行Frobenius映射；当位非零时，存储当前点用于点加，同时持续执行后续Frobenius映射，仅在点加未完成且新非零位到来时暂停映射，待点加结束后恢复。由于点加时延远大于Frobenius映射，后者带来的时钟开销可忽略不计，点乘总时延完全由点加运算决定。

4.2 流水线调度与架构分析

由4.1节的分析可知，点乘时延主要取决于点加运算的计算效率，而乘法运算是点乘中最复杂、占用资源最多的操作。本文采用流水线KOM，通过在乘法器内部插入寄存器，将复杂的组合逻辑均匀分割，以缩短关键路径、提升时钟频率。在此基础上，本文系统分析了单乘法器与双乘法器架构在不同流水线级数下的点乘性能，通过重新设计点乘数据调度方案，确定各架构配置下点乘所需的最小时钟周期数。

4.2.1 单乘法器架构分析

对于单乘法器（1M）架构，每轮点乘理论上至少需要8个时钟周期来完成8次乘法运算。然而由于点乘各子计算单元之间存在数据依赖关系，实际所需周期数可能超过理论下界。具体而言，$ {Z}_{1} $中$ C $的计算依赖$ {Z}_{0} $中$ E $的结果，而下一轮$ {Z}_{0} $中$ E $的计算又依赖当前轮$ {Z}_{1} $输出的$ {Z}_{3} $，因此$ {Z}_{0} $与$ {Z}_{1} $之间存在严格的先后约束，这一依赖关系决定了每轮点乘实际消耗的时钟周期数。经分析，在流水线级数不超过4级时（即单次乘法所需周期不超过4个），流水线点乘仍可达到理论最小周期数8；而当流水线达到5级时，受$ {Z}_{0} $与$ {Z}_{1} $数据依赖的制约，每轮点乘所需周期增至10个，流水线中出现气泡，总周期数随之上升。此后随流水线级数继续增加，所需周期数将线性增长。
在2级、3级和4级流水线设计中，$ {Z}_{0} $与$ {Z}_{1} $消耗的总时钟周期均不超过理论最小值8，点乘每轮需8个时钟周期，流水线中无气泡产生。在GF($ {2}^{m} $)域上，点乘过程中点乘次数约为$ m/3 $，因此点乘所需总时钟周期约为$ 8m/3 $。各子计算单元中，$ {Z}_{0} $、$ {Z}_{1} $和$ {X}_{0} $需优先执行，$ {X}_{0} $的计算不受这两步结果约束，可与之重叠。在2级流水线设计中，由于流水线级数较少，前一轮点乘对当前轮的影响较小，$ {X}_{0} $可插入$ {Z}_{0} $与$ {Z}_{1} $之间；而当流水线级数增加时，为避免与前一轮产生冲突，$ {X}_{0} $需移至$ {Z}_{1} $之后执行。$ {X}_{1} $、$ {Y}_{0} $、$ {Y}_{1} $和$ {Y}_{2} $须在$ {Z}_{1} $与$ {X}_{0} $均完成后执行，$ {Y}_{3} $则须在$ {X}_{1} $、$ {Y}_{0} $和$ {Y}_{1} $均完成后执行。

4.2.2 双乘法器架构分析

对于双乘法器（2M）架构，由于两个乘法器并行运行，每轮点乘的理论最小周期数降至4。$ {Z}_{0} $与$ {Z}_{1} $之间的数据依赖关系仍然存在，其执行顺序保持不变，但$ {X}_{0} $可与$ {Z}_{1} $并行计算。
在2级流水线设计中，X0在Z1完成后启动，随后计算Y1，X1与Y0在X0完成后并行执行，最后计算Y2和Y3，每轮点乘可达到理论最小周期数4。在3级和4级流水线设计中，X0与Z1并行执行，Y0在X0完成后启动，X1与Y1并行计算，最后依次执行Y2和Y3；但受Z0与Z1数据依赖的制约，3级和4级设计每轮点乘所需周期分别增至6和8，无法达到理论最小值。在GF(2m)域上，2M架构3种流水线设计所需的点乘总时钟周期分别约为4m/3、2m和8m/3。
随着乘法器数量的进一步增加，流水线紧凑性将难以保证，面积开销也将急剧上升，因此本文仅考虑单乘法器与双乘法器两种架构。

4.2.3 实验对比与架构选择

本节将上述7种点乘方案在XC7VX690TFFG1157-3芯片上进行综合实现，结果如表2所示。
表 2 基于 Virtex-7 的点乘实现结果

Table 2 Implementation result of point multiplication on VIRTEX-7

域长 架构 流水线 频率/MHz 周期数 时延/μs LUT Slice ATP
163 1M 2S 192.2 435 2.26 11007 3154 7137
3S 293.3 435 1.483 11639 3379 5012
4S 349.7 435 1.244 11791 3365 4186
5S 400.0 543 1.358 11798 3297 4476
2M 2S 203.4 217 1.067 19448 5390 5750
3S 291.4 326 1.119 20474 5702 6380
4S 350.9 435 1.240 20560 5762 7143
283 1M 2S 162.3 755 4.651 22637 6886 32025
3S 245.7 755 3.073 23656 6622 20348
4S 294.1 755 2.567 23445 6628 17014
5S 337.8 943 2.791 25065 7258 20259
2M 2S 157.2 377 2.398 42737 11619 27859
3S 238.1 566 2.377 45685 12610 29976
4S 305.8 755 2.469 44447 11961 29530
571 1M 2S 115.7 1523 13.159 61635 16716 219961
3S 196.9 1523 7.737 65348 19401 150102
4S 227.3 1523 6.701 63842 18850 126318
5S 264.6 1903 7.193 65612 19998 143852
2M 2S 114.2 761 6.666 125526 33891 225930
3S 180.5 1142 6.327 124262 33982 214993
4S 238.1 1523 6.397 123415 35921 229772
在单乘法器架构中，随流水线级数增加，系统时钟频率提升，当级数不超过4时，点乘总周期数不变，故总时延随级数增加而降低；当级数达到5级时，虽时钟频率继续上升，但总周期数增大，导致时延反而增加，时延最低点出现在4级流水线设计。在双乘法器架构中，时钟频率同样随流水线级数增加而提升，2级设计可达到理论最小周期数，而3级和4级设计的周期数逐渐增大。对于GF($ {2}^{163} $)域，最低时延出现在2级流水线设计；对于GF($ {2}^{283} $)和GF($ {2}^{571} $)域，最低时延则出现在3级流水线设计。
图2展示了所有方案在3个二元域上的时延、面积（Slice数量）和ATP的变化趋势。
图 2 点乘实验结果

Fig.2 Implementation results in point multiplication architectures

总体而言，双乘法器架构与单乘法器架构的时钟频率差异不显著，但双乘法器架构的总时钟周期数普遍低于单乘法器架构，因此整体最低时延出现在双乘法器架构中。在面积方面，双乘法器架构因额外引入一个乘法器，切片资源占用显著大于单乘法器架构。采用ATP衡量时延与面积之间的折中关系，由于流水线级数对面积影响较小，ATP的变化趋势与时延基本一致。尽管双乘法器架构具有更低的时延，但其面积大幅增加，导致ATP最小值仍出现在单乘法器架构中。

4.2.4 面积高效架构与低时延架构

基于上述分析，本文提出两种点乘架构：面积高效架构与低时延架构。面积高效架构以最低ATP为目标，采用单乘法器结合4级流水线设计，在降低计算时延的同时保持较低的面积占用，具有较高的面积利用效率。低时延架构以最低点乘时延为目标，采用双乘法器并行设计，以面积资源换取更低的计算时延；对于GF($ {2}^{163} $)域采用2级流水线，对于GF($ {2}^{283} $)和GF($ {2}^{571} $)域则采用3级流水线。
面积高效型架构的算子调度方案如图3所示，其中，红色高亮部分标记点乘的计算结果。
图 3 面积高效型架构的算子调度方案

Fig.3 Operator scheduling scheme of the area-efficient architecture

4级流水线设计以单个乘法单元、两个加法单元和一个平方单元，在8个时钟周期内完成点乘所需的8次乘法、10次加法和5次平方运算。需要额外说明的是，由于数据依赖和关键路径的约束，实现中引入了一次额外加法操作：$ F+G+{Y}_{1} $结果需在第10个时钟周期才被使用，而$ F $在第8周期可用、$ G $在第9周期可用，因此需在第8周期先计算$ F+{Y}_{1} $，在第9周期再计算$ (F+{Y}_{1})+G $；又因后续计算还需$ G+{Y}_{1} $，实际共需3次加法，比理论最小值多1次。此外，Frobenius映射计算还需额外2个平方单元，一次完整点乘共需19个时钟周期，$ {X}_{3} $、$ {Y}_{3} $和$ {Z}_{3} $分别在第13、19和8个时钟周期输出。4级流水线乘法单元将在输入数据后的最后3个时钟周期内输出结果，乘法结果将存入对应寄存器或直接送入加法单元。
面积高效架构的关键路径出现在点乘计算过程中，涉及一个多路选择器和已流水化的乘法器。通过合理为各计算单元（乘法器、加法器等）分配寄存器，可减小多路选择器的输入规模，进一步优化关键路径。表3给出了面积高效型架构点乘部分的寄存器级调度方案。
表 3 面积高效型架构点乘部分寄存器级调度方案

Table 3 Register-level scheduling scheme of dot product for area-efficient architecture

时钟
周期		 乘法器 加法器 平方器
MUL_0 MUL_1 ADD0_0 ADD0_1 ADD1_0 ADD1_1 SQR
1 x2(0) Z1(0) R1(−1) G(−1) — — —
2 RCH(−1) R0(−1) G(−1) Y1(−1) — — —
3 RCH(−1) R0(−1) MUL_r(−2) J(−2) — — R0(−1)
4 x2(−1) Z3(−1) MUL_r(0) X1(0) — — —
5 Z1(0) R0(0) MUL_r(−1) R1(−1) — — Z1(0)
6 y2(0) R1(0) MUL_r(−1) R1(−1) x2(−1) y2(−1) Z3(−1)
7 R2(−1) R1(−1) MUL_r(−1) X3(−1) — — R0(0)
8 RCH(−1) R1(−1) MUL_r(0) Y1(0) RCH(0) R0(0) RCH(0)
9 x2(1) Z1(1) R1(0) G(0) — — —
10 RCH(0) R0(0) G(0) Y1(0) — — —
11 RCH(0) R0(0) MUL_r(−1) J(−1) — — R0(0)
12 x2(0) Z3(0) MUL_r(1) X1(1) — — —
13 Z1(1) R0(1) MUL_r(0) R1(0) — — Z1(1)
14 y2(1) R1(1) MUL_r(0) R1(0) x2(0) y2(0) Z3(0)
15 R2(0) R1(0) MUL_r(0) X3(0) — — R0(1)
16 RCH(0) R1(0) MUL_r(1) Y1(1) RCH(1) R0(1) RCH(1)
17 x2(2) Z1(2) R1(1) G(1) — — —
18 RCH(1) R0(1) G(1) Y1(1) — — —
19 RCH(1) R0(1) MUL_r(0) J(0) — — R0(1)

（−2）表示上上一轮；（−1）表示上一轮；（0）表示当前轮；（1）表示下一轮；（2）表示下下一轮。

点乘单元共需9个寄存器，乘法器输入端的多路选择器为5选1。基于上述算子调度与寄存器分配方案，面积高效型硬件架构如图4所示。图中寄存器组用于存储计算过程中的中间结果和最终结果，同时作为流水线架构的第一级流水寄存器使用。
图 4 面积高效型的硬件架构

Fig.4 Hardware architecture diagram of the area-efficient architecture

低时延架构由2级和3级两种流水线的双乘法器架构构成，2级设计适用于GF($ {2}^{163} $)域，3级设计适用于GF($ {2}^{283} $)和GF($ {2}^{571} $)域，其算子调度方案分别如图5和图6所示，红色高亮部分同样标记点乘的计算结果。
图 5 2级流水线的低时延架构算子调度方案

Fig.5 Operator scheduling scheme of the low-latency architecture with two-stage pipeline

2级流水线设计以两个乘法单元、3个加法单元和两个平方单元，在4个时钟周期内完成点乘所需的8次乘法、9次加法和5次平方运算，并额外配置2个平方单元用于Frobenius映射计算。一次完整点乘需9个时钟周期，X3、Y3和Z3分别在第7、9和5个时钟周期输出；2级流水线乘法单元在接收输入数据后的下一个时钟周期即可输出结果。3级流水线设计以两个乘法单元、两个加法单元和两个平方单元，在6个时钟周期内完成相应的乘法、加法和平方运算，同样配置2个额外平方单元用于Frobenius映射。一次完整点乘需13个时钟周期，X3、Y3和Z3分别在第10、13和6个时钟周期输出；3级流水线乘法单元在接收输入数据后的两个时钟周期内输出结果。
2级流水线点乘单元共需12个寄存器，两个乘法器输入端的多路选择器均为4选1；3级流水线点乘单元共需9个寄存器，两个乘法器输入端的多路选择器均为3选1。两种低时延硬件架构分别如图7和图8所示。
图 7 2级流水线的低时延硬件架构

Fig.7 Hardware architecture diagram of the low-latency architecture with two-stage pipeline

图 8 3级流水线的低时延架构硬件架构

Fig.8 Hardware architecture diagram of the low-latency architecture with three-stage pipeline

4.3 整体硬件架构

本文所提Koblitz曲线点乘运算的整体硬件架构如图9所示，主要分为标量转换和点乘计算两部分。
图 9 Koblitz 曲线点乘运算的整体硬件架构

Fig.9 Overall hardware architecture of point multiplication on Koblitz curve

标量转换部分实现了将标量$ k $转换为以$ \tau $为基的τNAF表示的标量转换算法；点乘计算部分主要由ALU模块构成，包含用于Frobenius映射、点乘及模逆运算的乘法、加法等基本运算单元，以及负责管理点乘流程控制逻辑的控制单元和存储计算结果的寄存器组。由于标量转换与点乘计算两部分的时钟频率不同，采用FIFO进行跨时钟域转换。标量转换模块完成规约后，以每周期两位的速率生成τNAF序列并写入FIFO；点乘计算模块检测到FIFO非空后即开始读取序列并启动计算。从实现结果来看，标量转换模块的时钟频率略低于点乘计算模块，但由于标量转换采用双字算法，其数据输出速率高于后续点乘计算的需求，因此不会影响后续运算的正常推进。

5 实验结果与对比分析

本节对所提两种Koblitz曲线点乘硬件架构进行FPGA实现与性能评估，给出完整的时延、资源占用、ATP及功耗数据，并与当前主流设计进行横向对比，验证所提架构的技术优势。

5.1 评估指标与实现平台

Koblitz曲线点乘总时延由τNAF标量转换与点乘计算两部分组成，分别对应不同时钟频率与周期数，总时延计算公式为：
$ {\mathrm{Latency}}={T}_{\tau }\times {\mathrm{C{C}}}_{\tau }+{T}_{{\mathrm{KP}}}\times {\mathrm{C{C}}}_{{\mathrm{KP}}} $
其中，$ {T}_{\tau } $、$ {{\mathrm{CC}}}_{\tau } $为标量转换的时钟周期与周期数；$ {T}_{{\mathrm{KP}}} $、$ {{\mathrm{CC}}}_{{\mathrm{KP}}} $为点乘计算的时钟周期与周期数。
在$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{m}\right) $域中，本文τNAF算法总周期数约为$ m+5 $，可与点乘并行执行，实际有效周期约为$ (m+5)/2 $。点乘周期主要由点加决定，单乘法器架构每轮点加8周期，双乘法器架构在$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{163}\right) $为4周期，在$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{283}\right) $、$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{571}\right) $为6周期，最终加上模逆周期得到总周期数。
硬件资源占用以FPGA Slice数量衡量，综合性能采用ATP评估，计算公式为：
$ {\mathrm{ATP}}={\mathrm{Slice}}\times {\mathrm{Latency}} $
本文采用Xilinx Virtex-7 FPGA平台，以Vivado 2019.1完成综合与实现，分别使用性能优化策略与额外时序优化策略提升电路频率与时序表现。为便于与其他结构进行对比，同时在Virtex-5、Virtex-4器件上进行移植实现。实验结果对比见表4。
表 4 实验结果对比

Table 4 Comparison of experimental results

曲线 文献 域(m) 架构 设备 总计
时延/μs #Slice ATP
Koblitz曲线 [13] 163 — V5 2.505 3670 9193
— V4 3.402 7732 26302
283 — V5 5.815 7738 44993
571 — V5 18.513 20291 375642
[26] 163 — V5 5.262 23975 126158
本文 163 1M V7 1.683 3631 6110
V5 1.975 4362 8615
V4 2.955 5571 16462
2M V7 1.347 6026 8115
V5 1.404 6917 9712
V4 2.092 9019 18868
283 1M V7 3.455 7867 27184
V5 3.548 9027 32029
V4 5.500 12379 68086
2M V7 3.279 14246 46713
V5 3.346 14807 49544
V4 5.408 19597 105974
571 1M V7 7.511 20612 154821
V5 7.755 24625 190962
V4 12.199 32630 398065
2M V7 7.071 38515 272325
V5 7.457 42827 319380
V4 11.349 55726 632429
General曲线 [19] 163 d=4 V7 2.930 4435 12995
d=6 V7 2.450 5705 13977
283 d=4 V7 8.240 7096 58471
d=6 V7 6.750 8951 60419
571 d=4 V7 28.800 13789 397123
d=6 V7 23.020 16359 376584
[27] 163 — V7 2.068 8762 18122
283 — V7 4.095 20451 83739
571 — V7 9.719 41974 407950
[20] 163 — V7 3.710 2437 9041
V5 5.220 2502 13062
283 — V7 7.690 5493 42240
V5 10.790 5640 60859
[28] 163 ∞ V7 2.510 3422 8591
1 V7 4.832 3422 16536
283 ∞ V7 4.932 7983 39374
1 V7 9.331 7983 74487
571 ∞ V7 10.851 20158 218732
1 V7 20.377 20158 410763
[29] 163 — V5 3.900 3590 14002
图 6 3级流水线的低时延架构算子调度方案

Fig.6 Operator scheduling scheme of the low-latency architecture with three-stage pipeline

5.2 实现结果

面积高效架构采用单乘法器4级流水线，在$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{163}\right) $、$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{283}\right) $、$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{571}\right) $3个典型二元域上的点乘总时延分别为1.683 μs、3.455 μs、7.511 μs，对应$ {\mathrm{Slice}} $资源占用为 3631、7867、20612。
低时延架构采用双乘法器并行结构，在 $ {\mathrm{GF}}\left({2}^{163}\right) $使用2级流水线，在$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{283}\right) $、$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{571}\right) $使用3级流水线，3个域上时延分别为1.347 μs、3.279 μs、7.071 μs，对应$ {\mathrm{Slice}} $占用为6026、14246、38515。

5.3 对比分析

将本文所提两种架构与近年来面向 Koblitz曲线的点乘设计、面向常规椭圆曲线的高性能点乘设计进行横向对比，对比对象包括文献[13, 19-20, 26-28]等主流方案，对比维度覆盖时延、资源占用、面积–时延积等关键指标。
在Koblitz曲线点乘相关设计中，文献[13]与文献[26]均包含完整τNAF标量转换与点乘运算，其中，文献[13]在同类设计中具有相对更优的时延与资源表现，其在Virtex-5平台上实现的$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{163}\right) $域点乘时延为2.505 μs。与该结果相比，本文面积高效架构时延降低 21.158%，面积占用增加18.856%，面积–时延积降低6.287%；低时延架构时延降低 43.952%，面积占用增加88.474%，面积–时延积增加5.646%。
在$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{163}\right) $域上，本文面积高效架构时延较现有最优结果降低21.158%，低时延架构时延降低43.952%；在$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{283}\right) $域上，面积高效架构时延降低38.985%，低时延架构时延降低42.459%；在$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{571}\right) $域上，面积高效架构时延降低58.111%，低时延架构时延降低59.720%，在3个典型域上均取得显著的时延优化效果。
文献[19]与文献 [27]在时延指标上同样具有较强竞争力，其中文献[19]在Virtex-7平台上$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{163}\right) $域时延为2.450 μs，文献[27]为 2.068 μs，但上述两种设计的硬件资源占用量更大，导致面积–时延积显著高于本文所提架构。整体对比结果表明，本文面积高效架构在面积、时延与ATP之间实现最优平衡，适用于资源受限的物联网终端设备；低时延架构实现全域最低计算时延，适用于对实时性要求严苛的高速加密场景。
与面向常规椭圆曲线的面积高效设计相比，例如，文献[20]在Virtex-7平台上实现的$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{163}\right) $域点乘时延为3.710 μs，占用2437个$ {\mathrm{Slice}} $，$ {\mathrm{ATP}} $为9041。本文面积高效架构时延降低54.636%，面积占用增加48.995%，$ {\mathrm{ATP}} $降低32.419%；低时延架构时延降低63.693%，面积占用增加147.271%，$ {\mathrm{ATP}} $降低10.242%。与文献[28]相比，其在Virtex-7平台上$ {\mathrm{GF}}\left({2}^{163}\right) $域时延为2.510 μs，占用3422个$ {\mathrm{Slice}} $，$ {\mathrm{ATP}} $为8591。本文面积高效架构时延降低32.948%，面积占用增加 6.108%，$ {\mathrm{ATP}} $降低28.879%；低时延架构时延降低46.335%，面积占用增加76.096%，$ {\mathrm{ATP}} $降低5.541%。
实验同时记录了硬件功耗，如表5所示。随着域阶数增大，系统总功耗上升；相同域下，单乘法器面积高效架构的资源利用率更高、功耗更低。
表 5 本文架构在 Virtex-7 上的功耗

Table 5 Power consumption of the proposed architectures on Virtex-7

域（m） 架构 τNAF的功率/W KP的功率/W 总功率/W
163 1M 0.383 1.620 2.003
2M 0.383 2.693 3.076
283 1M 0.399 2.979 3.378
2M 0.399 8.679 9.078
571 1M 0.416 8.938 9.354
2M 0.416 19.188 19.604
此外，部分对比文献未单独标注标量转换模块的时延与资源占用，相关开销已计入整体系统的总时延与面积，本文在对比过程中统一采用完整系统指标，保证对比结果的公平性与有效性。

6 结束语

本文针对 Koblitz 曲线点乘运算的硬件实现开展了系统性研究。在算法层面，提出了基于混合表示的双字懒惰规约与 τNAF 生成算法，通过消除冗余加法操作降低了关键路径时延并缩减了电路面积。在架构层面，对单乘法器与双乘法器在不同流水线级数下的调度方案进行了系统分析，确定了各配置下的最小时钟周期数，并据此提出面积高效架构与低时延架构两种实现方案：前者采用单乘法器 4 级流水线，流水线效率达 100%，在面积与时延之间实现最优折中；后者采用双乘法器设计，在文中3个典型二进制域上均取得最优计算时延。上述成果验证了通过流水线调度与算法协同优化能够有效平衡密码协处理器的计算性能与资源消耗，为资源受限的物联网设备与高速密码硬件设计提供了参考方案。
在未来研究中，可重构架构设计是重要的拓展方向，通过支持多域参数的灵活配置，可进一步提升架构通用性、拓宽适用范围。与此同时，在保持高性能的前提下引入抗侧信道攻击防护机制，如随机化中间值与均衡功耗等防护手段，相关优化设计是满足实际安全部署需求的关键课题。此外，随着后量子密码与 ECC 混合应用场景的不断拓展，面向两类算法的协同加速架构设计也值得深入探索。

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