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2026 , Vol. 4 >Issue 2: 61 - 74

DOI: https://doi.org/10.20172/j.issn.2097-3136.260405

Academic Research

Image steganography scheme based on Fourier transform and implicit neural representation

  • Yang Pengyuan 1 ,
  • Di Fuqiang , 1, 2, * ,
  • Zhang Minqing 1, 2 ,
  • Liu Jia 1, 2 ,
  • Huang Hui 3
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  • 1. College of Cryptographic Engineering, Engineering University of PAP, Xi’an 710086
  • 2. Key Laboratory of Network and Information Security, Engineering University of PAP, Xi’an 710086
  • 3. Mobile Detachment of the Shaanxi Provincial Corps of PAP, Xi’an 710086

Online published: 2026-05-29

Copyright

Copyright ©2026 Journal of Aeronautical Materials. All rights reserved.
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Abstract

To counter the inherent capacity-detectability trade-off of traditional steganography, we present an implicit neural representation steganography scheme that integrates dual-key Fourier encoding, shared-parameter training and dynamic loss weight strategy to embed two images in a single model. A low-frequency-dominated Fourier matrix preserves the cover’s global colour and contour, while a high-frequency-enhanced matrix captures the secret’s fine textures; both representations are concatenated and fed into a five-layer fully connected network with shared weights for joint training. During training, a dynamic loss weight strategy is adopted to adaptively adjust loss weights, guaranteeing the visual naturalness of the cover while emphasising the secret image’s detail recovery. Experiments demonstrate substantial gains in the reconstruction quality of the secret image and embedding capacity compared with conventional methods. In addition, the model-key decoupling paradigm proposed in this paper separates public components (model parameters and public key) from the secret key, which is delivered through an encrypted channel, enabling authorized users to perform offline secret retrieval and significantly reducing interception risk.

Key words： implicit neural representation; Fourier encoding; parameter-sharing network; secure decoupling

Cite this article

Yang Pengyuan , Di Fuqiang , Zhang Minqing , Liu Jia , Huang Hui . Image steganography scheme based on Fourier transform and implicit neural representation[J]. Journal of Cybersecurity, 2026 , 4(2) : 61 -74 . DOI: 10.20172/j.issn.2097-3136.260405

0 引言

隐写术（Steganography）[1-3]作为信息安全领域的关键技术，旨在将秘密信息隐匿于公开载体（如图像、音频、视频）中，避免引发第三方注意。其中，图像隐写术通过将秘密图像编码至载体图像像素空间，利用数字图像的视觉冗余特性实现隐蔽传输，其安全性依赖于信息嵌入过程对载体统计分布与视觉表观的最小扰动。然而在传统隐写技术中，隐写容量与隐蔽性[4]之间普遍存在难以调和的矛盾，最低有效位（LSB）替换算法通过简单修改像素末尾二进制位嵌入信息，Westfeld等[5]的研究表明，当嵌入量超过图像总像素的10%时，检测准确率高达90%，不仅图像质量明显下降，其直方图还会出现不自然的“成对波动”。这种矛盾迫使传统方法只能在“少藏保安全”与“多藏易暴露”之间做出权衡，严重制约了其实际应用价值。
近年来，深度学习技术的兴起为隐写术提供了新的解决思路。基于深度学习的隐写方案[6-7]主要特征是高度依赖大规模数据训练，与传统依赖人工设计不同，这类方法通过神经网络实现智能化、自适应的嵌入过程，仅需构建合适的网络架构、定义优化目标并提供训练数据，系统既可通过参数自学习机制自主逼近预设性能指标，又可通过学习载体与秘密信息之间的复杂非线性映射，显著提升了隐蔽性和抗检测能力。然而，现有方法多关注单一信息的嵌入，难以满足多模态隐蔽通信的需求。此外，现有深度隐写模型通常依赖显式像素操作，模型参数与隐藏信息之间缺乏强关联性，导致密钥管理复杂且抗逆向分析能力不足。
随着深度学习的不断发展，隐式神经表示（implicit neural representation，INR）[8-9]通过将图像表示为坐标到像素值的连续函数，为隐写术提供了新的技术路径。Sitzmann等[10]将这一思路引入二维图像领域，设计了一个简单的多层感知机（multilayer perceptron，MLP），输入像素坐标即可直接输出RGB值，成功实现了图像的隐式存储与重建；一张常规尺寸的图像可被压缩为仅需数万个参数的MLP模型，且能通过插值生成任意分辨率的结果。Chen等[11]将INR用于隐写术，提出了参数即载体的理念，同时发现，神经网络权重的高维分布具有天然抗统计检测的特性，INR通过参数分散存储信息，使得任何局部参数变化都不会直接对应特定像素的修改，从而规避了检测工具的扫描。实验显示，在相同嵌入容量下，INR隐写的检测率仅为9%，远低于LSB的89%。这一成果证明了神经网络可以隐式表示复杂信号，为后续研究奠定了基础，引发了学术界对INR的广泛关注。其核心优势在于参数化存储和高隐蔽性，模型参数本身是一组看似随机的浮点数，第三方无法从中直接解析出像素信息。Sitzmann等[12]指出，权重共享机制使得单一模型可同时学习载体图像与秘密图像的双重特征映射，实现“一模型藏双图”的高效架构。另外，Zhang等[13]研究表明，用户输入普通密钥时，模型输出视觉自然的普通图像；输入秘密密钥时，则激活隐藏通道恢复完整秘密图像。此外，INR隐写技术可通过密钥与模型的强绑定关系抵御逆向攻击，秘密信息提取完全依赖秘密密钥，即使攻击者窃取模型参数，若未获得正确的密钥，也无法通过逆向工程恢复隐藏内容。Han等[14]提出了一种基于隐式神经表示的深度跨模态隐写技术框架，该方案能有效处理不同模式和分辨率的数据，成功突破了传统深度隐写技术仅支持特定数据类型的局限；不过该方法仍采用传统多媒体隐写技术，将隐式模型数据嵌入图像的显性表征载体中。Jia等[15]提出了基于隐式神经表示的功能隐写技术，通过将秘密信息的隐式神经表示函数嵌入载体数据的隐式表示函数中，使得发送方与接收方只需共享密钥即可直接从隐写函数中提取密文，无需依赖复杂算法。
总的来说，INR隐写技术凭借其高隐蔽性、多模态支持等优势，成为信息安全领域的研究热点。针对现有INR隐写方案恢复质量差和隐写容量低的问题，本文提出一种基于傅里叶变换的高质量图像隐写方案，其主要贡献如下。
1）采用低频傅里叶矩阵提取载体图像的整体色彩与轮廓特征，利用高频矩阵捕捉秘密图像的细节纹理，二者通过共享权重的5层全连接神经网络融合存储，提高了模型参数的利用效率。
2）在训练过程中动态调整载体图像与秘密图像的损失权重，平衡载体图像视觉自然度与秘密图像细节恢复能力，显著提升秘密图像的峰值信噪比（PSNR）至42.89 dB，优于传统最低有效位替换方法。
3）引入模型−密钥解耦范式，公开存储模型参数与公开密钥，秘密密钥经加密信道传输，授权用户通过本地离线操作即可恢复完整信息，且密钥可重复使用，有效降低传输泄露风险，增强隐写安全性。此外，本文引入隐式神经表示技术，有效解决了深度隐写术存在的高训练成本、解码传输负担重及图像分辨率受限等问题。

1 本文方案

本文提出了一种基于隐式神经表示的图像隐写方案，基本框架如图1所示，主要包含嵌入方E、普通用户和提取方3种用户。嵌入方E利用傅里叶特征和INR对载体图像$ R $和秘密图像$ S $进行模型联合训练。通过进行傅里叶特征生成，分别得到公开参数$ {M}_{r} $和恢复密钥$ {M}_{s} $，并根据隐式神经表示的基本步骤，训练出共享参数模型$ \theta $。最终共享参数模型$ \theta $的共享参数同时能够表示双图的信息，以实现“一模型藏双图”的效果。嵌入方E或者其他发送方将训练完成得到的公开参数$ {M}_{r} $和共享参数模型$ \theta $上传到Github、CSDN等代码托管平台或隐式神经表示应用网站，并将恢复密钥$ {M}_{s} $通过安全可靠信道秘密传输给提取方。普通用户可直接下载公开参数$ {M}_{r} $和共享参数模型$ \theta $上，但仅能对载体图像R进行恢复，得到恢复图像$ R' $。提取方不仅可以根据共享参数模型$ \theta $和公开参数$ {M}_{r} $得到恢复图像，还能使用恢复密钥$ {M}_{s} $进行秘密图像恢复，得到提取图像$ S' $，并且密钥可多次使用，提取不同参数模型。整个方案共分为3个部分：傅里叶特征生成、共享参数模型联合训练、传输与提取。
图 1 基于隐式神经表示的图像隐写方案基本框架

Fig.1 Basic framework of image steganography scheme based on implicit neural representation

1.1 傅里叶特征生成

传统神经网络在图像处理中通常直接将像素坐标输入网络进行学习，这种方式虽然简单，但难以有效捕捉图像中的复杂纹理和细节。因此，本方案引入傅里叶变换思想，将二维坐标转换为包含多频率成分的高维特征，从而为神经网络提供更丰富的学习基础。具体实现步骤共分为3步。
1）生成原始坐标矩阵。直接使用载体图像$ R $和秘密图像$ S $的每个像素的坐标($ x $,y)。假设图像分辨率为$ H\times W $，载体图像$ R $和秘密图像$ S $每个像素的原始坐标分别为：($ {x}_{i} $,$ {y}_{j} $)，($ {u}_{g} $,$ {v}_{h} $)，$ {x}_{i}\in \left[0,W-1\right] $，$ {y}_{i}\in \left[0,H-1\right] $，从而分别得到原始坐标矩阵$ {{\boldsymbol{X}}}_{R} $和$ {{\boldsymbol{X}}}_{S} $。
$ \begin{array}{c}{{\boldsymbol{X}}}_{R}=\left[\begin{matrix}{x}_{1} & {y}_{1}\\\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_{2}\\\vdots \end{array}\\{x}_{H\times W}\end{array} & \begin{array}{c}\begin{array}{c}{y}_{2}\\\vdots \end{array}\\{y}_{H\times W}\end{array}\end{matrix}\right]\end{array} $
$ \begin{array}{c}{{\boldsymbol{X}}}_{S}=\left[\begin{matrix}{{u}}_{1} & {{v}}_{1}\\\begin{array}{c}\begin{array}{c}{{u}}_{2}\\\vdots \end{array}\\{{u}}_{H\times W}\end{array} & \begin{array}{c}\begin{array}{c}{{v}}_{2}\\\vdots \end{array}\\{{v}}_{H\times W}\end{array}\end{matrix}\right]\end{array} $
2）频率矩阵初始化并生成预特征。对于载体图像$ R $和秘密图像$ S $，分别生成128个二维频率向量，即分别生成两个具有128行和2列的随机频率矩阵，这些随机值符合均值为零、标准差、$ {\sigma }_{{r}} $和$ {\sigma }_{s} $均为2的正态分布，能确保频率矩阵的对称性和适当的特征强度，从而在傅里叶特征映射中有效捕捉图像的低频和高频信息。分别将载体图像的频率矩阵$ {{\boldsymbol{F}}}_{r} $和秘密图像的频率矩阵$ {{\boldsymbol{F}}}_{s} $与原始坐标矩阵$ {\boldsymbol{X}} $进行矩阵乘法，得到预特征矩阵$ {{\boldsymbol{P}}}_{R} $和$ {{\boldsymbol{P}}}_{S} $：
$ \begin{array}{c}{{\boldsymbol{P}}}_{R}={{\boldsymbol{X}}}_{R}\cdot {\boldsymbol{F}}_{r}^{\top }\end{array} $
$ \begin{array}{c}{{\boldsymbol{P}}}_{S}={{\boldsymbol{X}}}_{S}\cdot {\boldsymbol{F}}_{s}^{\top }\end{array} $
其行数为图像中像素的总数量$ H\times W $，列数为频率向量数量，即128。通过此方式，一方面可获得这些坐标在不同频率下的特征响应，使得模型能够更好地学习和表示图像的空间特征；另一方面为将原始坐标扩展到更高的特征空间，进而利用正弦和余弦函数进行非线性映射。
3）由预特征生成傅里叶特征。设载体图像$ R $和秘密图像$ S $的坐标对应的傅里叶特征分别为$ {f}_{r}\left(x,y\right) $和$ {f}_{s}\left(x,y\right) $，二者的生成过程可表示为：
$ \begin{array}{c}{f}_{r}\left(x,y\right)=\left[\cos \left(2\pi {P}_{R}\right),\sin \left(2\pi {P}_{R}\right)\right]\end{array} $
$ \begin{array}{c}{f}_{s}\left(x,y\right)=\left[\cos \left(2\pi {P}_{S}\right),\sin \left(2\pi {P}_{S}\right)\right]\end{array} $
其中，正弦特征矩阵和余弦特征矩阵的维度均为$ {N}\times 128 $，将得到的正弦特征和余弦特征沿列方向拼接，形成$ {N}\times 256 $的矩阵。拼接后，每个像素对应的列包含所有频率的正弦值和余弦值，形成一个256维的特征向量，即实现了傅里叶变换，将像素分解成正弦波形和余弦波形，其中，N是图像像素点的总数量。$ {f}_{r}\left(x,y\right) $作为公开参数$ {M}_{r} $，$ {f}_{s}\left(x,y\right) $作为恢复密钥$ {M}_{s} $。

1.2 共享参数模型联合训练

共享参数模型联合训练的核心思想是通过共享模型参数同时处理多个相关任务，从而提高学习效率和模型性能。其共享参数机制的核心防护作用体现在：即使攻击者以普通用户身份下载共享参数模型$ \theta $和载体图像傅里叶矩阵$ {{\boldsymbol{M}}}_{r} $，在缺乏秘密密钥$ {{\boldsymbol{M}}}_{s} $的情况下，仍无法恢复秘密有效信息。以暴力穷举攻击为例，攻击者尝试随机生成傅里叶矩阵$ {{\boldsymbol{M}}}_{t} $并进行解码操作，其搜索空间达$ {10}^{384} $，相当于破解256位AES密钥难度的$ {10}^{80} $倍；若按每秒百万次尝试速度计算，需超过$ {10}^{270} $年才能遍历所有可能组合。
传统方法则需要分别训练两个独立网络处理载体图像和秘密图像，这不仅使模型参数量翻倍，还可能导致两个模型在训练过程中相互干扰。本方案使双图共享同一5层感知机的参数，仅通过输入傅里叶特征的差异实现双任务协同工作，突破了传统隐写模型中双网络独立运行的局限性，在资源利用效率与特征安全性层面实现了双重创新。
具体而言，如表1、图2所示，载体图像与秘密图像的傅里叶特征输入同一5层神经网络，所有神经元权重完全共享。共享参数机制的动态调节能力，使网络在反向传播过程中需兼顾双目标：既要保证载体图像的视觉自然度，又要准确恢复秘密图像的细节信息。在联合训练过程中，载体图像与秘密图像的傅里叶特征数据通过交替输入的方式实现协同优化；每轮训练时，模型会同时接收来自两类图像的特征向量，这两个特征向量虽输入同一个多层感知机，但由于二者对应的傅里叶矩阵存在差异，网络可通过参数共享机制学习到两种不同的特征映射关系。
表 1 5层全连接神经网络

Table 1 Five-layer FCNN

层名称 类型 输入维度 输出维度 激活函数 备注
输入层 — 256 256 — 输入为傅里叶特征
向量，维度为256
隐藏层1 Linear 256 256 Sine 全连接层，权重和
偏置初始化为1×10−6
隐藏层2 Linear 256 256 Sine 全连接层，权重和
偏置初始化为1×10−6
隐藏层3 Linear 256 256 Sine 全连接层，权重和
偏置初始化为1×10−6
隐藏层4 Linear 256 256 Sine 全连接层，权重和
偏置初始化为1×10−6
输出层 Linear 256 3 Sigmoid 输出RGB值
图 2 网络简易结构

Fig.2 Simplified structure of the network

训练的核心在于通过动态加权策略，为载体图像和秘密图像的训练任务动态分配不同的优化权重。这种设计使模型在更新参数时，既保证载体图像的视觉自然度，又重点提升秘密信息的恢复精度。

1.3 传输与提取

通过将训练好的INR模型$ \theta $传输到云平台，通过独立加密信道传输$ {M}_{s} $，确保$ {M}_{s} $传输过程不可被第三方察觉。其实现方法是：将训练完成的模型$ \theta $和只包含$ {M}_{r} $的解码工具共同上传至公共云平台，对外宣称是具备图像恢复功能的智能系统。普通用户可自由下载整套工具，但仅能获得$ R $的恢复功能。具体来说，就是用于$ {M}_{p} $随软件包公开发布，用于常规图像处理；$ {M}_{s} $则通过加密通信或预存方式单独传输给授权用户。云端模型文件与常规图像处理模型无异，第三方无法通过常规分析发现隐藏功能。
提取是将模型输出的特征向量重新组织成完整的图像格式。用户将特征向量输入训练好的共享模型，模型根据坐标特征，逐像素恢复出秘密图像的色彩信息，将高频特征转换为RGB颜色值，$ \hat{S} $代表通过共享模型恢复出的秘密图像像素值：
$ \begin{array}{c}\hat{S}\left(x,y\right)={\mathrm{MLP}}\left({F}_{S}\left(x,y\right)\right)\end{array} $
完成所有坐标点的计算后，系统需要将散落的像素值重新排列成完整图像。具体来说，将每个坐标$ \left(x,y\right) $对应的RGB值按原始位置填充。例如对于$ 128\times 128 $的图像：创建一个128行、128列的空白矩阵，每个位置初始化为白色，即$ \text{RGB}=\left(1,1,1\right) $。将坐标$ \left(0,0\right) $的输出颜色填入第一行第一列。将坐标$ \left(m-1，n-1\right) $的颜色填入最后一行最后一列。重复上述操作直至所有$ m\times n $个像素填充完毕。
将重组后的图像矩阵进行数值标准化处理，确保其取值范围符合图像格式要求。最后，将处理后的图像矩阵转换为标准的图像文件格式，以便于后续的存储和传输。

2 实验分析

实验基于PyTorch框架（版本2.6.0）实现，使用的编程语言为Python3.12，在配备NVIDIA GeForce RTX 4060 GPU的服务器上进行，CUDA版本为12.6。模型采用多层感知机实现隐式神经表示，隐藏层维度为256，输出维度为3（对应R、G、B三通道），网络初始学习率为0.0001，迭代次数为1000。实验随机选取了CelebA、COCO和ImageNet数据集中的各10组图像，CelebA的3组图像包含3种尺寸（$ 64\times 64 $、$ 128\times 128 $、$ 256\times 256 $），每组包含一张载体图像和一张秘密图像。

2.1 恢复质量测试

评估指标选用峰值信噪比、隐写容量和结构相似性（SSIM）。其中，隐写容量是衡量隐写算法效率的核心指标，表示单位载体像素能够隐藏的二进制信息量。结合本实验实际需求，其计算需综合考虑神经网络参数规模与载体图像分辨率的关系，因此，隐写容量计算公式为：
$ {\mathrm{bpp}}=\frac{{N}_{{\mathrm{mlp}}}\times 32}{{W}_{c}\times {H}_{c}} $
其中，$ {N}_{{\mathrm{mlp}}} $为多层感知机参数总量，即为输入层到隐藏层参数与隐藏层到输出层参数之和。$ {W}_{c} $即为载体图像宽度，$ {H}_{c} $载体图像高度。MLP的参数总量由权重和偏置组成，计算公式如下：
$ \begin{array}{c}{N}_{{\mathrm{mlp}}}=\left({d}_{{\mathrm{in}}}\times {h}_{1}\right)+\left({h}_{1}\times {d}_{{\mathrm{out}}}\right)+{h}_{1}+{d}_{{\mathrm{out}}}\end{array} $
其中，$ {d}_{{\mathrm{in}}} $为输入层维度，$ {h}_{1} $为隐藏层神经元数量，$ {d}_{{\mathrm{out}} } $为输出层维度，$ {d}_{{\mathrm{in}}}\times {h}_{1} $为输入到隐藏层权重，$ {h}_{1}\times {d}_{{\mathrm{out}}} $为隐藏到输出层权重。
结构相似性是一种用于衡量两个图像结构相似性的指标，它不仅考虑了图像的亮度和对比度，还考虑了图像的结构信息，因此能够更准确地反映图像的视觉质量。SSIM的值范围为$ \left[0,1\right] $，值越接近1，表示两个图像的结构越相似。SSIM的计算公式如下：
$ {\mathrm{SSIM}}\left(x,y\right)=\frac{\left(2{\mu }_{{x}}{\mu }_{{y}}+{{{\mathrm{C}}}}_{1}\right)\left(2{\sigma }_{{xy}}+{{{\mathrm{C}}}}_{2}\right)}{\left(\mu _{{x}}^{2}+\mu _{{y}}^{2}+{{{\mathrm{C}}}}_{1}\right)\left(\sigma _{{x}}^{2}+\sigma _{{y}}^{2}+{{{\mathrm{C}}}}_{2}\right)} $
其中，$ {\mu }_{x} $和$ {\mu }_{y} $分别是图像$ x $和$ y $的平均值；$ {\sigma }_{x} $和$ {\sigma }_{y} $分别是图像$ x $和$ y $的标准差；$ {\sigma }_{xy} $是图像$ x $和$ y $的协方差；$ {\mathrm{{C}}}_{1} $和$ {{\mathrm{C}}}_{2} $是用于稳定分母的常数，通常取$ {{\mathrm{C}}}_{1} $=$ {\left({{{\mathrm{k}}}}_{1}{L}\right)}^{2} $和$ {{\mathrm{C}}}_{2} $=$ {\left({{{\mathrm{k}}}}_{2}{L}\right)}^{2} $，其中，$ {L} $是像素值的动态范围，$ {{{\mathrm{k}}}}_{1} $和$ {{{\mathrm{k}}}}_{2} $是小常数。

2.1.1 不同图像尺寸测试

为探究载体图像与秘密图像尺寸匹配关系对模型恢复质量的影响，实验构建了10种典型尺寸组合，如表2所示。
表 2 图像尺寸组合实验配置

Table 2 Experimental configuration of image size combinations

组合编号载体图像尺寸秘密图像尺寸
164×64128×128
2128×12864×64
364×64256×256
4256×25664×64
5128×128256×256
6256×256128×128
7256×256256×256
8128×128128×128
964×6464×64
10512×512512×512
采用理论推导与实验验证相结合的方式，系统地分析不同尺寸组合下的性能变化规律。通过1 000轮次训练，各尺寸组合的性能对比如图3和表3所示。
图 3 不同尺寸组合PSNR收敛曲线

Fig.3 PSNR convergence curves for different size combinations

表 3 关键性能指标对比

Table 3 Comparison of key performance indicators

组合载体图像
尺寸		秘密图像
尺寸		载密图像
PSNR/dB		秘密图像
PSNR/dB		训练时间/
min
A164×64128×12848.3944.655
A2128×12864×6443.0353.314
A364×64256×25645.7838.4715
A4256×25664×6437.8849.9919
A5128×128256×25638.1539.0018
A6256×256128×12838.3042.7429
A7256×256256×25636.1238.0325
A8128×128128×12841.4642.8920
A964×6464×6449.0053.942
A10512×512512×51233.8836.2296
图表中展示的数据来自对CelebA数据集的测试，所有尺寸组合的PSNR曲线均呈现初期波动、后期平稳的共性趋势，表明模型在训练初期需要不断调整参数以适应不同尺寸图像的特征，而随着训练的深入，模型逐渐找到最优的参数配置，使得载密图像和秘密图像的重建质量均能达到较好的水平。
当载体与秘密图像尺寸差异较大时，模型通过低频主导特征保留载体图像整体轮廓、高频强化特征捕捉秘密图像细节纹理，特征分配能力更优。A4秘密图像PSNR达49.99 dB，显著高于A3的38.47 dB；A4载密图像PSNR为37.88 dB虽低于A3的45.78 dB，但仍足够满足视觉可接受需求，说明大尺寸载体图像的低频背景信息更充足，能为秘密图像细节恢复提供稳定支撑，适应性优于文献[16]的多图像隐写方法。两类组合训练时间差异显著，核心因256×256载体图像特征维度更高，参数优化需消耗更多计算资源。
当载体与秘密图像尺寸相同时，模型对高频细节的捕捉能力显著提升。A10组合秘密图像PSNR为 36.22 dB，A9组合达53.94 dB，说明尺寸越大，模型拟合效果越差，且训练时间也急剧增加。A10组合需96 min、A9组合仅需2 min，这是因为小尺寸双图特征复杂度低，模型无需分配额外参数适配尺寸，可集中优化高频细节恢复精度，且收敛速度最快、后期无明显波动，进一步验证该优势，相较于文献[17]的量子隐式表征网络，本方案通过傅里叶特征优化，小尺寸图像恢复精度更优。值得注意的是，当载体图像尺寸远小于秘密图像时，模型难以平衡双图恢复质量：A3组合载密图像PSNR为45.78 dB虽高于A4组合，但秘密图像仅为PSNR38.47 dB，且收敛曲线波动持续时间更长、最终稳定值更低。这表明载体图像低频信息不足时，模型虽通过动态损失权重调整，较文献[18]的训练效率优化策略有一定缓解，但仍易牺牲载密图像整体自然度，导致双图恢复质量均受损。此外，中等尺寸双图组合A8训练时间最长，介于小尺寸与大尺寸差异组合之间，反映出中等尺寸图像特征复杂度适中，模型需更多迭代才能实现双图特征的均衡优化。与文献[19]中的自适应频率选择算法相比，本文通过共享权重的多层感知机网络，进一步提升了模型在不同尺寸组合下的适应性和恢复质量，通过傅里叶矩阵的优化和动态损失权重调整，能够在一定程度上缓解尺寸差异较大这一问题。图4显示了方案在不同数据集下的恢复情况，第一行为含密图像，第二行为秘密图像，通过视觉观察，恢复的图像与原始图像误差较小，残差图中信号比较微弱，难以肉眼区分。
图 4 不同数据集的恢复过程示例

Fig.4 Example of recovery processes for different datasets

2.1.2 不同图像类型测试

为了验证不同类型图像对恢复质量的影响时，实验统一采用载体图像和秘密图像均为$ 128\times 128 $尺寸的配置，选择具有不同特征和内容的4种图像类型，如图5所示。通过8种组合，可分析本方案在不同图像类型上的性能表现。
图 5 不同类型图像

Fig.5 Different types of images

表4的实验数据显示，本方案在各类型图像对上均取得了较好的重建质量。以B1为例，文献[20]在同类测试上的PSNR仅30 dB左右，本方案将秘密图像的保真度提升约10 dB，结构相似度提升4.4%。与B2相比之下，文献[21]的PSNR仅20.5 dB，SSIM仅0.80，本方案在秘密图像的PSNR上实现了约5.2 dB的显著性能增益，SSIM提升超过8%。类似地，对于含高对比度的文本图像的组合，本方案在B3、B4、B7等组合中，秘密图像SSIM均保持大于0.85。实验结果表明，本方案在复杂纹理、锐利边缘及多模态场景下均能更完整地恢复细节，同时维持载体图像的视觉自然度。图6为B1、B7两组图像的恢复过程示例。
表 4 不同类型图像性能指标对比

Table 4 Performance indicator comparison for different types of images

组合
编号		 载体图像
类型		 秘密图像
类型		 载密图像
PSNR/dB		 秘密图像
PSNR/dB		 载密图像
SSIM		 秘密图像
SSIM
B1 自然图像 人脸图像 37.14 42.54 0.9979 0.9986
B2 自然图像 医学图像 46.11 25.76 0.9997 0.8833
B3 自然图像 文本图像 45.64 25.06 0.9997 0.8984
B4 人脸图像 文本图像 40.95 23.42 0.9983 0.8862
B5 人脸图像 医学图像 42.65 26.53 0.9987 0.9646
B6 人脸图像 自然图像 39.58 43.88 0.9977 0.9995
B7 医学图像 文本图像 35.93 41.95 0.9941 0.9954
B8 文本图像 医学图像 25.34 38.64 0.9189 0.9968
图 6 两组恢复过程示例

Fig.6 Example of two groups of recovery processes

2.2 隐写容量测试

对比同样采用“参数即隐藏”范式的INR隐写方案，每像素比特数（bpp）按同一公式计算。在256×256尺寸载体图像、256×256尺寸秘密图像条件下，本文MLP参数量263939，对应bpp值为128.9，容量较文献[11]提升3倍，较文献[15]提升1倍，如表5所示。实测秘密图像PSNRWEI 38.0 dB，载体图像PSNR为36.1 dB，SSIM大于0.985，表明高参数密度未引入可见失真，频域双密钥解耦使高频细节与低频轮廓同步收敛。将载体图像尺寸扩大至512×512时，模型结构保持不变，bpp理论值降至32.2，秘密图像的PSNR仍达36.2 dB，容量−保真度呈反向可调特征；后续可通过权重剪枝、低秩分解或哈希编码进一步压缩模型并重新训练，以在更低bpp值下维持可接受的重建质量。
表 5 INR隐写方案容量−保真度对比

Table 5 Capacity-fidelity comparison of INR steganography schemes

方案 参数量 bpp 载密图像PSNR/dB 载密图像SSIM 秘密图像PSNR/dB 秘密图像SSIM
本文 263939 128.9 36.1 0.995 38.0 0.994
INRSteg[11] 65536 32 36.4 0.991 32.1 0.983
DeepMIH[8] 1175708 576 33.8 0.986 31.5 0.982
Func-in-Func[15] 131072 64 34.2 0.988 30.9 0.984
与传统隐写方法相比，本文方案在理论上可实现24.0bpp的嵌入率，显著优于典型LSB及JPEG域隐写方法，在保持高视觉保真度的同时将隐藏容量提升3~5倍，兼顾了隐写容量、保真度与抗检测性能。

2.3 鲁棒性测试

为评估本方案对模型级扰动的抵抗能力，在256×256尺寸载体图像、256×256尺寸秘密图像条件下，选取多种典型扰动场景开展测试：权重噪声、权重量化、JPEG压缩及ONNX格式往返转换，通过BER、PSNR、SSIM量化扰动对秘密图像恢复质量的影响，实验测试结果如表6所示，关键指标变化如图7~8所示。
表 6 不同扰动下的鲁棒性测试结果

Table 6 Robustness test results under different perturbations

扰动类型 BER PSNR/dB SSIM PSNR下降/dB
原始状态 0.000 35.09 0.9993 0.00
权重噪声（1×10−4） 0.000 35.05 0.9986 0.04
权重噪声（5×10−4） 0.000 34.65 0.9981 0.45
6bit 量化 0.000 32.96 0.9977 2.13
5bit 量化 0.005 29.52 0.9881 5.57
4bit 量化 0.068 25.39 0.9604 9.70
3bit 量化 0.266 19.21 0.8350 15.88
2bit 量化 0.532 13.74 0.4516 21.35
JPEG 压缩（QF=70） 0.994 2.38 0.0692 32.71
JPEG 压缩（QF=50） 0.701 2.38 0.0151 32.71
JPEG 压缩（QF=30） 0.701 2.38 0.0348 32.71
ONNX 往返 0.000 35.09 0.9993 0.00
图 7 不同量化位数下的载密图像恢复情况

Fig.7 Recovery performance of stego images under different quantization bits

图 8 PSNR下降幅度

Fig.8 PSNR Decline amplitude

由表6可知，本方案对不同扰动的鲁棒性差异显著：轻微权重噪声、6bit量化及ONNX往返几乎无影响，BER均为0，其中，ONNX往返因仅引入微小舍入误差，甚至提升了PSNR；中度权重噪声与4 bit量化的影响可接受，仍能保证秘密图像的可识别性；低位量化与JPEG压缩则会严重破坏隐写性能，3 bit量化时BER骤升至0.266，2 bit量化接近随机猜测，JPEG压缩的BER均大于0.68，PSNR仅2 dB左右，SSIM小于0.07，秘密图像完全无法恢复。
如图7所示，对比了不同INR隐写方案INRSteg[11]、StegaINR4MIH[22]在不同量化位数下的载密图像的恢复情况，当量化位数由8bit降至6bit时，不同方案出现了明显的差异。本方案在4bit量化下依旧能够保持较好的视觉效果，说明在该量化范围内模型性能未出现明显退化。INR模型对低位量化如此敏感，主要是因为INR模型对参数精度的高度依赖性，其通过连续函数映射对信号进行隐式表示，表达能力依赖于网络权重的精细数值表达。当量化位宽降低时，权重参数的可表示范围显著缩小，量化误差在网络层间传播过程中逐渐累积，进而影响模型对信号结构的精确拟合能力。此外，INR模型通常依赖高频特征映射来表达复杂信号细节，这类映射对参数扰动较为敏感，因此在极低位量化条件下，微小的量化误差可能被进一步放大。
而现有的图像级隐藏方法[23]在低位量化下，虽然能够保持图像的一定结构，但秘密数据已经暴露了大致轮廓。从图8可直观看出JPEG压缩（QF=30）、2 bit量化的PSNR下降幅度最大；从BER、PSNR、SSIM 3个维度对比可知，原始状态SSIM等指标接近1，PSNR维持在较高水平，中度权重噪声下仍保持较高鲁棒性，而2 bit量化与JPEG压缩（QF=30）的3项指标均显著偏低，进一步验证了本方案对低位量化与JPEG压缩的敏感性。
综上，本方案在常规模型部署场景（如轻微噪声、高位量化、格式转换）中具有强鲁棒性，但对权重精度压缩与图像格式压缩较为敏感，后续需通过权重蒸馏、抗压缩编码等方法优化以提升综合鲁棒性。此外，本文选取了两种鲁棒隐写方法进行对比，包括Yang等[24]提出的PRIS框架以及Eiden等[25]基于Radon变换与整数提升小波的可逆鲁棒隐写方法。这两种方法均强调在图像压缩、噪声干扰等真实信道条件下的恢复鲁棒性。相比之下，本方案在高位量化与轻微扰动下表现出更强的恢复稳定性，但在JPEG压缩与低位量化方面仍存在一定的敏感性，后续可借鉴PRIS中的可逆网络结构或文献[25]中的频域抗压缩机制进行优化。

2.4 安全性分析

（1）密钥随机攻击实验量化分析
隐写方案的安全性核心在于“未授权用户无法获取秘密信息”，而本方案通过双密钥傅里叶编码与模型−密钥解耦机制构建安全屏障，其安全性可通过密钥随机攻击实验进行直接验证。本节通过1000次随机密钥猜测攻击，量化评估本方案对非法密钥攻击的抵抗能力，实验以傅里叶频率矩阵作为核心密钥，模拟攻击者窃取模型参数但未获取正确密钥的场景。实验结果如表7所示，正确密钥与随机密钥的恢复质量呈现出数量级差异，充分验证了本方案的抗非法密钥攻击能力。随机密钥恢复的图像PSNR均低于11 dB，远低于“视觉可识别阈值”（20 dB），且SSIM接近0（载体图像SSIM为0.0622、秘密图像SSIM为0.0338），说明恢复结果为无意义的噪声图像（如图9所示），攻击者无法从中提取任何有效视觉信息。上述结果充分证明了“密钥与模型参数强绑定”：模型仅对正确频率矩阵的傅里叶特征有响应，非法密钥无法激活有效特征映射，难以从输出结果中获取有效信息。
表 7 密钥随机攻击实验结果

Table 7 Results of random key attack experiments

图像类型评估指标正确密钥结果随机密钥结果性能下降幅度
载密图像PSNR40.5210.15±0.5530.37
SSIM0.99820.0622±0.09890.936
秘密图像PSNR43.078.49±0.6234.58
SSIM0.99800.0338±0.09870.964
图 9 随机密钥攻击下的性能对比曲线

Fig.9 Performance comparison curve diagram under random key attacks

（2）第三方检测工具分析
本文随机选取了COCO（common objects in context）数据集中的200对载体−秘密图像对作为实验数据。图10为StegExpose [26]检测工具对本方案载密图像的检测效果评估结果，通过假阳性率与真阳性率的关系曲线，量化本方案的隐蔽性。当检测工具试图区分“本方案载密图像”与“普通图像”时，假阳性率始终维持在极低水平，即使真阳性率提升至0.8~1.0，假阳性率仍未显著上升，表明第三方检测工具难以有效识别本方案的载密图像。从统计特征上看，载密图像与普通图像的差异极小，不会引发检测警报。同时，曲线整体趋近于理想ROC曲线，既说明授权用户（持有正确密钥）可100%正确提取秘密信息，又证明未授权用户无法通过检测工具发现载密图像的异常，进一步强化了本方案的隐蔽性与安全性。此外，还基于图像隐写分析网络SRNet [27]进行了检测分析，该网络主要用于区分隐写图像与原始载体图像，通过逐渐增加训练样本数量重新训练SRNet。
图 10 StegExpose检测载密图像结果

Fig.10 Results of StegExpose detection on stego images

图11显示了不同隐写方案的检测精度随训练样本数量的变化趋势。由图11可知，与传统图像隐写方法相比，本方案实现了更低的检测精度；在隐写图像对数量有限的情况下，SRNet很难完全区分本方案产生的隐写图像与载体图像，主要是因为本方案将载体转化为模型，模型即作为载体，这表明本方法具有更强的抗隐写分析能力。
图 11 不同隐写方法的准确率变化情况

Fig.11 Accuracy changes of different steganography methods

2.5 隐写方案对比

使用COCO、ImageNet和BOSSBase 3个图像数据集，从3个数据集中各选取10组图像，与现有的图像级隐藏方法Baluja [23]、UDH [28]、ISN [29]、HiNet [30]、EFDR [31]在相同实验标准下进行对比实验，同时对比INR隐写方案INRSteg [11]，验证本方案的图像恢复质量，如表8所示。在各数据集内横向对比，可发现不同方法在同类场景下的性能差异。在相同数据集下，不同方法的PSNR表现差异显著。
表 8 恢复质量对比

Table 8 Comparison of recovery uality

方法 COCO ImageNet BOSSBase
PSNR1/dB PSNR2/dB 提升幅度 PSNR1/dB PSNR2/dB 提升幅度 PSNR1/dB PSNR2/dB 提升幅度
Baluja 24.24 21.55 +41.2% 24.68 21.55 +47.0% 26.82 23.38 +45.0%
UDH 23.94 21.89 +39.0% 24.69 21.77 +45.5% 24.81 23.54 +44.0%
ISN 24.43 24.47 +24.4% 25.16 24.88 +27.2% 26.03 29.30 +15.7%
HiNet 16.90 20.17 +50.9% 17.43 20.42 +55.1% 17.26 23.21 +46.0%
EFDR 32.16 35.30 −13.8% 31.92 35.38 −10.5% 35.90 37.17 −8.8%
INRSteg 35.4 31.60 −3.7% 33.49 32.78 −3.4% 36.23 35.98 −5.8%
本文 36.55 30.43 0 35.12 31.67 0 37.11 33.89 0
值得注意的是，EFDR方法虽然其秘密图像PSNR2为35.30 dB，但其载体图像PSNR1明显低于本方案的载体图像PSNR1，说明其过度优化秘密信息导致载体图像失真，可能引发普通用户对模型真实功能的质疑。而在ImageNet数据集上，本方案的跨内容适应能力更加凸显，ISN方法的PSNR2仅24.88 dB。此外，本方案通过傅里叶高频特征编码，使秘密图像中眼部轮廓和发丝等细节的PSNR2提升至31.67 dB。这种差异源于传统方法直接将像素坐标输入网络，难以捕捉高频细节；而本方案通过傅里叶频率矩阵将坐标映射到256维特征空间，使神经网络能够同时学习图像的低频轮廓和高频纹理。
从COCO到BOSSBase数据集，本方案的PSNR1和PSNR2指标表现出优异稳定性。载体图像PSNR1波动差异仅1.99 dB，而HiNet的PSNR1波动差异为0.56 dB。这种稳定性得益于参数共享机制，同一组网络参数在不同数据集上均能均衡适配载体与秘密双图特征，避免了传统方法中独立网络训练导致的参数冲突。本方案的PSNR2波动差异为3.46 dB，而UDH方法的波动差异达1.65 dB，与之相比，这种参数共享设计使模型在训练初期优先保证载体自然度，后期侧重提升秘密信息精度。INRSteg隐写方案的图像恢复质量也较为突出，但其是将小型INR嵌入到大型INR，参数量较大，计算成本较高，而本方案通过共享同一个INR实现图像隐写。

2.6 消融实验

为验证本文提出的隐写方案中傅里叶编码对恢复质量的影响，本节进行了消融实验。实验分别比较了无编码、傅里叶编码（不含sin/cos映射）和傅里叶编码3种方式的图像恢复性能，结果见表9。本方案在载密图像和秘密图像的PSNR和SSIM值上均显著高于无编码和傅里叶编码（不含sin/cos映射）方案，表明傅里叶编码能够有效提高隐写图像的恢复质量。
表 9 不同编码方式下的恢复质量对比

Table 9 Comparison of recovery quality under different coding methods

编码方式 载密图像 秘密图像
PSNR↑/dB SSIM↑ MAE↓ PSNR↑/dB SSIM↑ MAE↓
无编码 28.51 0.7966 2.97 28.34 0.7625 2.82
傅里叶编码
（不含sin/cos）		 36.09 0.9428 2.01 34.26 0.9149 2.46
傅里叶编码 41.78 0.9796 1.44 39.87 0.9689 1.85
特别是在秘密图像的PSNR和SSIM值上，傅里叶编码方案相比无编码方案分别提升了约13.44 dB和0.1837，且秘密图像的MAE下降至1.85（像素值），进一步验证了傅里叶编码在提高恢复精度和保持图像细节方面的优势。此外，傅里叶编码（不含sin/cos映射）方案虽然在图像恢复的PSNR和SSIM上有所提升，但仍不及傅里叶编码方案，说明傅里叶编码在图像细节恢复和全局特征保持上具有更好的效果。因此，通过将傅里叶编码与隐式神经表示相结合，能够有效提升图像隐写技术的综合性能，特别是在图像恢复质量方面，充分体现了本方案在多任务优化中的优势。

3 结束语

本文针对隐写术中容量、隐蔽性难以兼得的瓶颈，提出了基于隐式神经表示的图像隐写方案。通过实验验证，该方案在256×256尺寸载体图像上可获得128.9 bpp的理论嵌入率，秘密图像PSNR提升4 dB以上，且对6 bit权重量化保持零BER，显著优于现有INR隐写方案及传统图像隐写方法。本文提出的模型−密钥解耦机制在保障隐写图像视觉保真度的同时，将破解复杂度提高至$ {10}^{384} $，实现密钥的可复用与低风险分发。INR的坐标−函数表征天然具备跨模态扩展潜力，仅需调整傅里叶维度与输入坐标即可适配音频、视频及神经辐射场等场景，进一步拓宽了隐写技术的应用边界。后续工作将围绕鲁棒性增强、参数压缩及检测评估方法标准化展开，以期为高容量、高隐蔽性、跨模态隐蔽通信提供一种通用技术范式。

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