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网络空间安全科学学报 >

2024 , Vol. 2 >Issue 4: 29 - 35

DOI: https://doi.org/10.20172/j.issn.2097-3136.240403

学术研究

全双工接收机辅助的星地隐蔽信息时效性分析

  • 曹逸之 1, 2 ,
  • 郭泽伟 3 ,
  • 缪奇峰 1, 2 ,
  • 杨卫东 , 1, 2, *
展开
  • 1. 西安电子科技大学杭州研究院，杭州 311200
  • 2. 陕西省网络与系统安全重点实验室，西安 710071
  • 3. 函馆未来大学系统信息科学学院，函馆 041-8655

网络出版日期: 2024-11-16

基金资助

中国博士后科学基金第74批面上资助（2023M742740）；中国高校基本科研业务费专项资金资助（ZYTS24011）

版权

版权所有©《网络空间安全科学学报》编辑部 2024
收起

Minimization of age of information for satellite-terrestrial covert communication with a full-duplex receiver

  • CAO Yizhi 1, 2 ,
  • GUO Zewei 3 ,
  • MIAO Qifeng 1, 2 ,
  • YANG Weidong , 1, 2, *
Expand
  • 1. Hangzhou Institute of Technology, Xidian University, Hangzhou 311200, China
  • 2. Shaanxi Key Laboratory of Network and System Security, Xi’ an 710071, China
  • 3. School of System Information Science, Future University Hakodate, Hakodate 041-8655, Japan

Online published: 2024-11-16

Copyright

Copyright ©2024 Journal of Aeronautical Materials. All rights reserved.
Fold

摘要

在现代通信技术不断发展的背景下，卫星通信在全球范围内的信息传输中扮演着至关重要的角色，然而，通信的安全性和信息的时效性始终是亟待解决的关键问题。以卫星—地面系统中隐蔽通信的信息新鲜度问题作为研究对象，该系统由卫星发射器Alice、地面全双工接收机Bob以及地面监听者Willie组成。在这种通信系统中，Alice在Willie的监测下尝试向Bob传输隐蔽信息，而Bob则发射干扰信号以混淆Willie，确保通信的隐蔽性。为此，首先针对Bob的平均信息时效性（Age of Information，AoI）和Willie的隐蔽约束进行了详细的理论建模。该模型考虑了通信过程中各类干扰和噪声的影响，从而为分析系统性能提供了坚实的理论基础。基于所建立的理论模型，进一步推导出了Alice在隐蔽性要求约束下的最优发射功率，以实现平均AoI的最小化。通过优化发射功率，Alice能够在保证隐蔽通信的前提下最大限度地提高信息的新鲜度，即尽量减少信息传输的延迟。随后，进行了数值模拟，验证了理论模型的准确性，并分析了发射功率和干扰功率对隐蔽性和平均AoI的影响。数值结果显示，通过合理调整发射和干扰功率，可以有效地在隐蔽性和信息时效性之间取得平衡。

关键词： 隐蔽通信; 全双工接收机; 莱斯信道; 信息时效性; 功率控制

本文引用格式

曹逸之 , 郭泽伟 , 缪奇峰 , 杨卫东 . 全双工接收机辅助的星地隐蔽信息时效性分析[J]. 网络空间安全科学学报, 2024 , 2(4) : 29 -35 . DOI: 10.20172/j.issn.2097-3136.240403

Abstract

In the context of the continuous development of modern communication technologies, the satellite communication plays a crucial role in global information transmission. However, the communication security and the timeliness of information are always key issues that urgently need to be addressed. The information freshness of covert communication in a satellite-terrestrial system consisting of a satellite transmitter Alice, a terrestrial full-duplex receiver Bob, and a terrestrial warden Willie, was taken as the object of the study. Particularly, Alice tried to transmit the covert information to Bob under the detection of Willie, while Bob emitted jamming signals to confuse Willie simultaneously. Therefore, a theoretical model was provided for the average age of information (AoI) of Bob and the covert constraint of Willie. This model considered the impact of various interferences and noises during the communication process, providing a solid theoretical basis for analyzing system performance. Based on the theoretical model, a optimal transmit power of Alice was drived to minimize the average AoI with the constraint of covertness requirement. By optimizing the transmission power, Alice is capable of ensuring the maximum the freshness of information while minimizing the delay in information transmission under the precondition of covert communication. Subsequently, numerical simulations were carried out to verify the accuracy of the theoretical model, and the impacts of transmission power and interference power on the concealment and average AoI were analyzed. Finally, the numerical results showed that the balance between concealment and AoI could be effectively achieved by reasonably adjusting the transmission and jamming power.

Key words： covert communication; full-duplex receiver; Rician channel; age of information; power control

0 引言

星地网络是指卫星与地面终端之间的全球无线通信网络，是未来6G的重要组成部分[1]。星地网络覆盖范围广、部署快、可靠性高、对移动通信的支持度高、灵活性和可扩展性强等方面具有很强的优势。因此，各个国家和科技公司对建立覆盖全球的卫星网络展现出强烈的兴趣，并开始实施各自的建设计划，如SpaceX的Starlink、英国的 OneWeb、中国的鸿雁等[2-4]。由于星地链路的开放性和广域覆盖性，卫星网络更容易受到恶意节点的窃听。密码学和物理层安全（Physical Layer Security，PLS）作为提高信息传输安全性的有前景的技术而出现，在传统网络上得到了广泛的应用。地面网络密码学方法假设窃听者无法破解密钥，从而通过加密方法保护信息不被泄露[5]。与密码学方法不同，物理层安全防范利用通信信道和窃听信道之间的质量差异来防止窃听者正确解码窃听信号[6-9]。但上述两种方法只能保护传输内容，恶意节点仍然可以检测到通信行为，从而干扰或破坏合法用户的传输。在一些军事场景或其他机密场景当中，通信行为的暴露会带来很大的安全风险。幸运的是，隐蔽通信作为一种新兴的物理层安全手段，可以在窃听者的监测下保护通信行为[10-11]。它利用信道的不确定性或噪声的不确定性来隐藏通信行为。已有一些先前的工作致力于研究星地系统中的隐蔽通信。在文献[12]中，作者通过部署可重构智能表面（Reconfigurable Intelligence Surface，RIS）实现正速率隐蔽通信，并通过联合优化发射机功率和RIS的传输系数来最大化系统隐蔽率。文献[13]的作者还通过优化发射机的传输参数，并考虑到非理想RIS，通过对用户进行分类和重组来调整RIS的参数，从而提高了隐蔽通信系统的通信性能。为了提高隐蔽通信系统的性能，文献[14]中的工作使用双工中继器作为协作干扰来迷惑集成星地中继网络 （Integrated Satellite-Terrestrial Relay Networks，ISTRN）中的窃听者，并通过优化干扰功率来提高隐蔽率。在文献[15]中，综合卫星多地面中继网络（Integrated Satellite Multiple Terrestrial Relay Networks，ISMTRN）被认为是通过选择性中继将隐蔽信息机会性转发到目的地来实现隐蔽通信。文献[16]研究了采用无人机干扰机的低轨卫星隐蔽通信系统的性能，通过优化无人机的功率和轨迹，达到最佳的隐蔽传输速率。现有的星地网络隐蔽通信的研究主要集中在改进隐蔽通信速率。然而，信息的新鲜度也是网络隐蔽传输的关键因素。
在本工作中，使用短包通信作为通信方式，与长包相比，短包隐蔽通信使得窃听者所检测的数据样本是有限的，有利于增强通信的隐蔽性[17-19]。此外，使用信息时效性（Age of Information，AoI）来表征信息的新鲜度，并推导AoI最小化的最佳传输功率[20-23]。本文的主要贡献可概括如下；首先，考虑隐蔽通信和AoI，给出了卫星地面网络的系统模型；其次，推导了短包星地通信中检测误差概率下界和平均AoI的表达式；最后，给出了数值结果来验证理论结果，并说明发射功率和干扰功率对隐蔽性和平均AoI的影响。

1 系统模型与预备知识

1.1 系统模型

如图1所示，构建一个下行卫星—地面隐蔽通信系统，其中卫星发射机Alice打算向地面用户Bob发送隐蔽消息，与此同时躲避地面上被动监听者Willie的监测。假设Alice和Willie各配备一根天线。在当前的卫星技术领域中，众多卫星普遍装备阵列天线并采用波束成形技术。然而，本文所采用的是单一天线方案。需要指出的是，尽管与主流的阵列天线及波束成形配置不同，但这并不会对结果的有效性产生影响。其原因在于，阵列天线使用波束成形主要是增加了信号的增益，而在本文的研究情境下，单一天线同样能够分析预期的研究目标，且不影响分析结果的趋势与有效性。全双工的Bob在接收Alice信号的同时使用额外的天线发送干扰信号迷惑Willie。假设所有链路都会经历大范围的路径损耗和小范围的衰落。因此，从Alice到Bob的链路hab和Alice到Willie的链路haw都服从莱斯衰落，可以建模为[24]：
图 1 系统模型图

Fig.1 System model

$ {h}_{\mathrm{a}{i}}=\sqrt{\frac{{K}_{\mathrm{a}{i}}}{{K}_{\mathrm{a}{i}}+1}}h+\sqrt{\frac{1}{{K}_{\mathrm{a}{i}}+1}}\tilde{h},i\in \left\{{\mathrm{b,w}}\right\} $
式中，$ {\mathrm{E}}\left[{\left|{h}_{\mathrm{a}{i}}\right|}^{2}\right]=1,i\in \left\{{\mathrm{b,w}}\right\} $，定义莱斯因子$ K $为直射（Line-of-Sight, LOS）功率分量与非直射（Non-Line-of-Sight）功率分量之比，h为信道直射分量的信道系数且$ \left|h\right|=1 $，$ \tilde{h} $为信道系数的非直射分量且为具有零均值和单位方差的圆对称复高斯随机变量。Bob和Willie之间的信道建模为加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise，AWGN）信道。

1.2 监听者处的检测

在本文中，将有限数量的信道使用定义为N。假设Willie使用二元假设来确定Alice是否正在向Bob发送隐蔽信号，则Willie在第$ i $个通道使用中接收到的信号可以由下式给出：
$ {y}_{\mathrm{w}}\left[i\right]=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{{P}_{\mathrm{b}}{d}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}^{-\alpha }}{x}_{\mathrm{b}}\left[i\right]+{n}_{\mathrm{w}}\left[i\right],\;{{H}}_{0}\\ \sqrt{{P}_{\mathrm{a}}{d}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}^{-\alpha }}{h}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}{x}_{\mathrm{a}}\left[i\right]+\sqrt{{P}_{\mathrm{b}}{d}_{\mathrm{b}\mathrm{w}}^{-\alpha }}{x}_{\mathrm{b}}\left[i\right]+{n}_{\mathrm{w}}\left[i\right],{{H}}_{1}\end{array}\right. $
式中，$ {x}_{\mathrm{a}} $为Alice发送的信号，满足$ {\mathrm{E}}\left[{\mathrm{x}}_{\mathrm{a}}\left(i\right){x}_{\mathrm{a}}^{*}\left(i\right)\right]= 1 $，$ {x}_{\mathrm{b}} $为Bob发送的信号，$ i $为N次信道使用次数的索引，$ i=1,\cdots ,N $，$ {P}_{\mathrm{a}} $为Alice的发射功率，$ d $为节点之间的距离，$ \alpha $为路径损耗指数。这些也同样适用于Bob。$ {n}_{\mathrm{w}}\left[i\right]\sim\mathrm{C}\mathrm{N}\left(0,{\sigma }_{\mathrm{w}}^{2}\right) $是具有零均值方差为$ {\sigma }_{\mathrm{w}}^{2} $的加性高斯白噪声，二元假设中的$ {{H}}_{0} $为Alice没有向Bob发送隐藏信息，$ {{H}}_{1} $为已向Bob发送隐藏信息。总检测错误概率可以表示为$ \xi ={P}_{\mathrm{F}\mathrm{A}}+{P}_{\mathrm{M}\mathrm{D}} $。其中$ {P}_{\mathrm{F}\mathrm{A}}、{P}_{\mathrm{M}\mathrm{D}} $分别为虚警（即Willie在$ {H}_{0} $的情况下作出$ {{H}}_{1} $的判断）和漏检（即Willie在$ {{H}}_{1} $的情况下作出$ {{H}}_{0} $的判断）。假设Willie使用最优检验来区分原假设和备择假设。以$ \lambda =1 $为阈值的似然检验可表示为：
$ \frac{{{P}}_{1}\triangleq \prod\limits _{i=1}^{N}f\left({y}_{{{\mathrm{w}}}}\left[i\right]|{{H}}_{1}\right)}{{{P}}_{0}\triangleq \prod\limits _{i=1}^{N}f\left({y}_{{{\mathrm{w}}}}\left[i\right]|{{H}}_{0}\right)}\stackrel{{D}_{1}}{\underset{{D}_{0}}{\geqslant }}1 $
式中，$ f\left(\cdot \right) $为$ {{H}}_{0} $或$ {{H}}_{1} $情况下$ {y}_{\mathrm{w}} $的概率密度函数。考虑通信的隐蔽性要求，隐蔽性约束可表示为：
$ \xi \geqslant 1-\epsilon $
式中，$ \epsilon $为隐蔽性容忍水平，$ \epsilon\in \left(\mathrm{0,1}\right) $。由于$ {P}_{\mathrm{F}\mathrm{A}} $和$ {P}_{\mathrm{M}\mathrm{D}} $的复杂性[25]，所以使用下界来保证隐蔽性约束。根据Pinsker不等式[10]，可以进一步限制错误检测概率，由下式给出：
$ \xi \geqslant 1-\sqrt{\frac{1}{2}{\mathrm{KL}}({P}_{1}\Vert {P}_{0})} $
式中，$ {\mathrm{KL}}({P}_{1}\Vert {P}_{0}) $为Kullback-Leibler(KL)散度，它衡量从$ {P}_{1} $到$ {P}_{0} $的概率分布之间的差异，$ {P}_{1} $和$ {P}_{0} $分别为备择假设$ {{H}}_{1} $和原假设$ {{H}}_{0} $下的似然函数。$ {\mathrm{KL}}({P}_{1}\Vert {P}_{0}) $可以由文献[26]给出：
$ {\mathrm{KL}}({P}_{1}\Vert {P}_{0})=N\left[\dfrac{{P}_{\mathrm{a}}|{h}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}{|}^{2}{d}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}^{-\alpha }}{{\sigma }_{\mathrm{w}}^{2}+{P}_{\mathrm{b}}{d}_{\mathrm{b}\mathrm{w}}^{-\alpha }}-\\ {{\mathrm{ln}}}\left(1+\dfrac{{P}_{\mathrm{a}}|{h}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}{|}^{2}{d}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}^{-\alpha }}{{\sigma }_{\mathrm{w}}^{2}+{P}_{\mathrm{b}}{d}_{\mathrm{b}\mathrm{w}}^{-\alpha }}\right)\right] $
在这项工作中，假设$ {h}_{\mathrm{a}\mathrm{w}} $的统计信息是已知的，即（$ {\mathrm{E}}\left[{\left|{h}_{aw}\right|}^{2}\right]=1 $）。因此，根据式（6）可以得到：
$ {\mathrm{E}}\left(\sqrt{\frac{1}{2}{\mathrm{KL}}({P}_{1}\Vert {P}_{0})}\right)\stackrel{\left(\mathrm{a}\right)}{\leqslant }\frac{\sqrt{N}{P}_{\mathrm{a}}{d}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}^{-\alpha }}{2\left({\sigma }_{\mathrm{w}}^{2}+{P}_{\mathrm{b}}{d}_{\mathrm{b}\mathrm{w}}^{-\alpha }\right)} $
其中，(a)是由于不等式$ \mathrm{ln}\left(1+x\right)\geqslant x-\dfrac{{x}^{2}}{2}\left(x\geqslant 0\right) $，根据式(4)、(5)和(7)，隐蔽性约束可以进一步限制为：
$ \xi \geqslant 1-\frac{\sqrt{N}{P}_{\mathrm{a}}{d}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}^{-\alpha }}{2\left({\sigma }_{\mathrm{w}}^{2}+{P}_{\mathrm{b}}{d}_{\mathrm{b}\mathrm{w}}^{-\alpha }\right)} $
基于式(8)，可以得到下文中的隐蔽约束。

2 性能指标和最小化信息时效性

在本节中，首先推导Bob处的解码错误概率和信息年龄的表达式，并给出Alice的AoI最小化的最佳发射功率。

2.1 接收机处的平均解码错误概率

解码错误概率是短包隐蔽通信的关键因素，可以近似写为[27]：
$ {P}_{\mathrm{b}\mathrm{e}}\approx \left\{\begin{array}{c}1,\quad{\gamma }_{\mathrm{b}} < v+\dfrac{1}{2\kappa }\\ \kappa \left({\gamma }_{\mathrm{b}}-v\right)+\dfrac{1}{2},\quad v+\dfrac{1}{2\kappa }\leqslant {\gamma }_{\mathrm{b}}\leqslant v-\dfrac{1}{2\kappa }\\ 0,\quad{\gamma }_{\mathrm{b}} > v-\dfrac{1}{2\kappa }\end{array}\right. $
式中，$ v = \rm{exp}(D/N)-1 $，$ \kappa = -\sqrt{\dfrac{N}{2\mathrm{\pi }(\rm{exp}(2D/N)-1)}} $，$ {\gamma }_{\mathrm{b}} $为Bob处的信号与干扰加噪声比（Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR），可以表示为：
$ {\gamma }_{\mathrm{b}}=\frac{{P}_{\mathrm{a}}|{h}_{\mathrm{a}\mathrm{b}}{|}^{2}{d}^{-\alpha }}{{\sigma }_{\mathrm{b}}^{2}+\varOmega {P}_{\mathrm{b}}}, $
式中，$ \varOmega $为Bob处的自干扰消除系数，$ {d}^{-\alpha } $为Alice和Bob之间的路径损耗系数。根据式（9），平均解码错误概率可表示为：
$\begin{split} {\bar{P}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}}&\approx {\int }_{0}^{v+\tfrac{1}{2\kappa }}{f}_{{\gamma }_{\mathrm{b}}}\left(t\right)\mathrm{d}t+{\int }_{v+\tfrac{1}{2\kappa }}^{v-\tfrac{1}{2\kappa }}\left(\kappa \left(t-v\right)+\tfrac{1}{2}\right){f}_{{\gamma }_{\mathrm{b}}}\left(t\right)\mathrm{d}t\\ &=-\kappa {\int }_{v+\tfrac{1}{2\kappa }}^{v-\tfrac{1}{2\kappa }}{F}_{{\gamma }_{b}}\left(t\right){\mathrm{d}}t\end{split}$
式中，$ {F}_{{\gamma }_{\mathrm{b}}}\left(t\right) $为Bob的SINR变量的累积分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)。
在莱斯信道下[28]，从Alice到Bob链路上的信道系数的平方$ |{h}_{\mathrm{a}\mathrm{b}}{|}^{2} $可以表示为：
$ |{h}_{\mathrm{a}\mathrm{b}}{|}^{2}={\left|\sqrt{\frac{K}{K+1}}h+\sqrt{\frac{1}{K+1}}\tilde{h}\right|}^{2} $
因此，$ |{h}_{\mathrm{a}\mathrm{b}}{|}^{2} $服从非中心的复高斯分布，$ {h}_{\mathrm{a}\mathrm{b}}\sim \text{CN}\left(\sqrt{\dfrac{K}{K+1}}{h}_{\mathrm{a}\mathrm{b}},\dfrac{1}{K+1}\right) $，令：
$ {R}_{1}=N\left(\dfrac{\text{real}\left(\sqrt{\dfrac{K}{K+1}}{h}_{\mathrm{a}\mathrm{b}},\dfrac{1}{2\left(K+1\right)}\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{2\left(K+1\right)}}},1\right) $
$ {I}_{1}=N\left(\dfrac{\text{imag}\left(\sqrt{\dfrac{K}{K+1}}{h}_{\mathrm{a}\mathrm{b}},\dfrac{1}{2\left(K+1\right)}\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{2\left(K+1\right)}}},1\right) $
则$ |{h}_{\mathrm{a}\mathrm{b}}{|}^{2}=\dfrac{1}{2\left(K+1\right)}({{R}_{1}}^{2}+{{I}_{1}}^{2}) $，令$ \varOmega ={{R}_{1}}^{2}+{{I}_{1}}^{2} $，则$ \varOmega $服从具有两个自由度的非中心卡方分布。采用广义Marcum Q函数来处理非中心卡方分布。对于一个具有自由度$ z $，非中心性参数$\lambda $的非中心卡方随机变量$ x $，其累计分布函数可以表示为：
$ F\left(x,z,\lambda \right)=1-{Q}_{\tfrac{z}{2}}\left(\sqrt{\lambda },\sqrt{x}\right) $
在本文中，$\lambda $可以计算为：
$ \begin{split}\lambda & =\left(\dfrac{\operatorname{real}\left(\sqrt{\dfrac{K}{K+1}} h_{\mathrm{ab}}, \dfrac{1}{2(K+1)}\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{2(K+1)}}}\right)^2+ \\& \quad \left(\dfrac{\operatorname{imag}\left(\sqrt{\dfrac{K}{K+1}} h_{\mathrm{ab}}, \dfrac{1}{2(K+1)}\right.}{\sqrt{\dfrac{1}{2(K+1)}}}\right)^2 \\& =\dfrac{\dfrac{K}{K+1}\left|h_{\mathrm{ab}}\right|^2}{\dfrac{1}{2(K+1)}}=2 K\left|h_{\mathrm{ab}}\right|^2\end{split} $
$ |{h}_{\mathrm{a}\mathrm{b}}{|}^{2} $的自由度为2，故$ {\lambda }_{1} $的CDF可以进一步给出为：
$ {F}_{{\lambda }_{1}}\left(x\right)=1-{Q}_{1}\left[\sqrt{2K},\sqrt{\frac{2\left(1+K\right)x}{{P}_{\mathrm{a}}{d}^{-\alpha }}}\right] $
式中，$ {Q}_{1} $为marcum$ Q $函数，可以表示为[29]:
$ \quad \begin{split}&{Q}_{1}\left(a,b\right)={\int }_{b}^{\mathrm{\infty }}x{\mathrm{e}}^{-\tfrac{{x}^{2}+{a}^{2}}{2}}{I}_{0}\left(ax\right)\mathrm{d}x\\& {=\mathrm{e}}^{-\tfrac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}\sum _{q=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{p=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q!}{\left(q+p\right)!}\frac{({a}^{2}/2^{q})({a}^{2}{b}^{2}/4{)}^{p}}{q!p!}\end{split} $
根据式(10)、(11)、(13)、(14)，$ {\bar{P}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}} $可以被计算得到：
$ \begin{split}{\bar{P}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}}&=-\kappa {\int }_{v+\tfrac{1}{2\kappa }}^{v-\tfrac{1}{2\kappa }}{F}_{{\lambda }_{1}}\left[\left({\sigma }_{\mathrm{b}}^{2}+\varOmega {P}_{b}\right)x\right]{\mathrm{d}}x\\& =-\kappa {\int }_{v+\tfrac{1}{2\kappa }}^{v-\tfrac{1}{2\kappa }}1-T{\mathrm{d}}x\end{split} $
其中$ T $为：
$ \begin{split}& \mathrm{e}^{-\left(K+\tfrac{\left.(1+K)\left(\sigma_{\mathrm{b}}^2+\varOmega P_{\mathrm{b}}\right) x\right)}{P_{\mathrm{a}} d^{-\alpha}}\right)}\times \\& \sum\limits_{q=0}^{\infty} \sum\limits_{p=0}^{\infty} \dfrac{(K)^q\left(\tfrac{K(1+K)\left(\sigma_{\mathrm{b}}^2+\varOmega P_{\mathrm{b}}\right) x}{P_{\mathrm{a}} d^{-\alpha}}\right)^p}{p!(p+q)!}\end{split} $

2.2 信息时效性

假设Alice时而在定义的时间间隔$ T $内产生一个简短的数据包，但有选择机会性地发送该数据包以保持其无线传输行为的秘密性质。AoI是衡量状态更新速度和通信延迟的重要指标，定义为自 Bob收到最近一个数据包以来的时间。当Bob成功接收到数据包时，AoI将重置为零。AoI可以表征为[30]：
$ D\left(t\right)=t-G\left(t\right) $
式中，$ G\left(t\right) $为最后一个数据包的生成时间。
图2给出了AoI的示意图。为了不失一般性，以第i个数据包为例。在这项工作中，只考虑传输延迟，而不考虑传播延迟。如图2所示，$ {G}_{i} $为第i 个数据包的生成时间，$ {G}_{i}^{\prime} $为 Bob 正确接收到第 i 个数据包的时间。时间间隔$ {G}_{i}^{\prime}-{G}_{i} $为传输延迟（即$ T $）。由于Alice的主观意图不发送数据包或数据包在Bob处被错误解码，AoI持续增加，直到正确接收到下一个数据包。考虑到更大时间尺度(0, $ \tau $)上的隐蔽通信的延迟，平均AoI是一个更合适的指标，可以表示为：
图 2 AoI示意图

Fig.2 Schematic diagram of AoI

$ \overline{D\left(t\right)}=\underset{\tau \to \infty }{{\mathrm{lim}}}{\int }_{0}^{\tau }D\left(t\right)\mathrm{d}t $
在较长的时间跨度(0, $ \tau $)内，假设Bob有$ N $个有效接收的数据包。令$ {S}_{i} $为由($ {G}_{i+1},{G}_{i} $) 之间折线包围的区域。根据积分的物理意义，平均AoI可以改写为：
$ \overline{D\left(t\right)}=\underset{\tau \to \infty }{{\mathrm{lim}}}\frac{1}{\tau }\sum _{i=1}^{N}{S}_{i} $
那么，D(t)的近似表达式可以由文献[30]给出：
$ \overline{D\left(t\right)}=\frac{2N}{W\left(1-{\bar{P}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}}\right)}+\frac{N}{2W} $

2.3 信息新鲜度最小的发射机功率

需要注意的是，Alice的传输功率$ {P}_{\mathrm{a}} $对于平均AoI至关重要，它将直接影响解码错误概率。为了最小化平均AoI，给出以下优化问题：
$ \begin{split} &\underset{{P}_{\mathrm{a}}}{\text{min}}\text{}f\left({P}_{\mathrm{a}}\right)=\frac{2N}{W\left(1-{\bar{P}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}}\right)}+\frac{N}{2W}\\ & \And \text{s}\text{.}\text{t}\text{.}\text{}{c}_{1}:\frac{\sqrt{N}{P}_{\mathrm{a}}{d}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}^{-\alpha }}{2\left({\sigma }_{\mathrm{w}}^{2}+{P}_{\mathrm{b}}{d}_{\mathrm{b}\mathrm{w}}^{-\alpha }\right)}\leqslant \epsilon\end{split} $
可以看出，当$ {f}^\prime\left({P}_{\mathrm{a}}\right) < 0 $时，平均AoI是$ {P}_{\mathrm{a}} $的减函数。然而，由于隐蔽性约束式（21），$ {P}_{\mathrm{a}} $不能无限制地增加。因此，取式(21)中的等号即可得到使平均AoI最小化的最优$ {P}_{\mathrm{a}} $，可表示为：
$ {P}_{\mathrm{a}}^{*}=\frac{2\epsilon\left({\sigma }_{\mathrm{w}}^{2}+{P}_{\mathrm{b}}{d}_{\mathrm{b}\mathrm{w}}^{-\alpha }\right)}{\sqrt{N}{d}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}^{-\alpha }} $

3 数值结果

本节将给出数值结果来证明所给出的理论推导的正确性，并解释系统参数对隐蔽性和平均AoI的影响。
外围参数设置如下：
$ \begin{split} &{d}_{\mathrm{a}\mathrm{w}}^{-\alpha }={d}_{\mathrm{b}\mathrm{w}}^{-\alpha }={d}^{-\alpha }=1,{\sigma }_{\mathrm{b}}^{2}={\sigma }_{\mathrm{w}}^{2}=-20\;\text{dBm},\\ & K=3,\varOmega =-20\;\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m},D=4,N=16,\epsilon=0.15\end{split} $
仿真结果由$ 3\times 1{0}^{4} $次仿真生成。图3说明了不同$ {P}_{\mathrm{a}} $下$ {P}_{\mathrm{b}} $对$ {P}_{\mathrm{b}\mathrm{e}} $的影响。从图3中可以看到，随着$ {P}_{\mathrm{b}} $的增加，$ {P}_{\mathrm{b}\mathrm{e}} $从0增长到1。这是因为Bob处的SINR随着$ {P}_{\mathrm{b}} $的增加而减小，不利于正确解码。还可以看到，所有曲线都是从0到1。这是因为当SINR足够低时，完全无法解码，而当SINR足够高时，可以完美解码。
图 3 干扰机功率对平均解码错误概率的影响

Fig.3 Effect of jammer power on the average probability of decoding errors

如图4所示，研究了不同$ {P}_{\mathrm{b}} $下$ {P}_{\mathrm{a}} $对AoI的影响，从图4中可以看出，平均AoI随着$ {P}_{\mathrm{a}} $的增加而减小。这是因为SINR随着$ {P}_{\mathrm{a}} $的增大而降低，从而平均AoI减小。另外，还可以看出，当$ {P}_{\mathrm{b}} $越大时，最优的$ {P}_{\mathrm{a}}^{*} $也越大。这是因为大的$ {P}_{\mathrm{b}} $可以增加Willie的DEP，这使得Alice可以使用更大的$ {P}_{\mathrm{a}} $来降低平均AoI，同时满足隐蔽性约束。
图 4 发射机发射功率对平均AoI的影响

Fig.4 Effect of transmitter transmit power on average AoI

图5给出了不同$ {P}_{\mathrm{a}} $下$ {P}_{\mathrm{b}} $对平均AoI的影响。该图显示，随着$ {P}_{\mathrm{b}} $的增加，平均AoI也随之增长。这是因为随着SINR的降低，解码错误的概率会加大，这会阻止数据包被成功接收，从而导致平均AoI的增加。
图 5 干扰机功率对平均AoI的影响

Fig.5 Effect of jammer power on average AoI

4 结束语

本文研究了卫星地面场景中隐蔽通信的信息新鲜度，用信息年龄来衡量。首先对具有Rician信道的卫星—地球链路进行了建模，并推导了隐蔽约束和AoI的表达式。然后，在隐蔽性要求的约束下，驱动Alice的最优发射功率以最小化平均AoI。结果显示，增加Alice的传输功率或减少Bob的干扰可以提高通信的可靠性和及时性。

参考文献

原文顺序 | 文献年度倒序 | 文中引用次数倒序
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